Konvergente reelle Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mi 14.01.2009 | | Autor: | JaJaJan |
| Aufgabe | Es seien [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] reelle konvergente Folgen mit [mm] a_{n} \le b_{n} [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] |
Hallo miteinander!
Meine Frage zu obiger Aufgabe ist:
Wie kann ich dies zeigen?
Es mit mir plausibel warum es so ist, aber ich habe leider keine Ahnung wie ich das zeigen kann.
Wäret ihr so nett und könntet mir einen Tipp geben, wie ich das beweisen könnte?
Danke!
Gruß
Jan
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] und [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] reelle
> konvergente Folgen mit [mm]a_{n} \le b_{n}[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass dann gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}[/mm]
>
> Hallo miteinander!
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> Meine Frage zu obiger Aufgabe ist:
>
> Wie kann ich dies zeigen?
> Es mit mir plausibel warum es so ist, aber ich habe leider
> keine Ahnung wie ich das zeigen kann.
>
> Wäret ihr so nett und könntet mir einen Tipp geben, wie ich
> das beweisen könnte?
>
> Danke!
> Gruß
> Jan
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Sei a der Grenzwert von [mm] a_n [/mm] und b der Grenzwert von [mm] b_n. [/mm] Zu zeigen ist a [mm] \le [/mm] b.
Dazu nimm an, es sei a>b . Wähle [mm] \varepsilon [/mm] = (a-b)/2. Dann ist b+ [mm] \varepsilon [/mm] = a- [mm] \varepsilon [/mm] (Skizze !)
Da [mm] a_n [/mm] --> a und [mm] b_n--> [/mm] b, gibt es ein M > [mm] n_0 [/mm] mit
[mm] b_n [/mm] < b+ [mm] \varepsilon [/mm] = a- [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] für n>m,
Also [mm] b_n
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 14.01.2009 | | Autor: | JaJaJan |
OK, danke!
Aber vielleicht kann mir jemand nochmal den Widerspruch zeigen.
Wir nehmen ja an, dass a>b und folgern daraus, dass [mm] b_{n} [/mm] < [mm] a_{n}.
[/mm]
Ist das ein Widerspruch?
Oder verstehe ich das falsch
Danke!
Gruß
Jan
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> OK, danke!
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> Aber vielleicht kann mir jemand nochmal den Widerspruch
> zeigen.
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> Wir nehmen ja an, dass a>b und folgern daraus, dass [mm]b_{n} < a_{n}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist das ein Widerspruch?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nicht die Folgerung (also: das Folgern) ist ein Widerspruch, sondern das Ergebnis [mm]b_{n}
Also: Wenn [mm]a_{n}< b_{n}[/mm] für alle n sein soll und wir annehmen, dass a>b ist, so erhalten wir als Ergebnis, dass das nur geht, wenn es auch [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] mit [mm]b_{n}< a_{n}[/mm] geben muss. Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung [mm]a_{n}< b_{n}[/mm] für alle n.
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> Oder verstehe ich das falsch
>
> Danke!
> Gruß
> Jan
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