Konvergenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen sie folgendes Konvergenzkriterium:
[mm] Seien(a_{n}),(b_{n}) [/mm] Folgen mit [mm] a_{n}>0 [/mm] und [mm] b_{n}>0 [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Gilt dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=1
[/mm]
dann folgt aus der Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] die Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] und aus der Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] die Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] |
Jetzt habe ich mir überlegt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=1=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}}=\bruch{a}{b}, [/mm] also a=b
Nun soll [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] konvergieren [mm] \Rightarrow a_{n}
Entsprechend für die Divergenz dann mit dem Minorantenkriterium.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen sie folgendes Konvergenzkriterium:
> [mm]Seien(a_{n}),(b_{n})[/mm] Folgen mit [mm]a_{n}>0[/mm] und [mm]b_{n}>0[/mm] für
> fast alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Gilt dann
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=1[/mm]
>
> dann folgt aus der Konvergenz von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}[/mm] die Konvergenz von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm] und aus der Divergenz von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}[/mm] die Divergenz von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm]
> Jetzt habe ich mir überlegt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=1=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}}=\bruch{a}{b},[/mm]
> also a=b
>
> Nun soll [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}[/mm] konvergieren
> [mm]\Rightarrow a_{n}
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm] nach dem Majorantenkriterium.
> Entsprechend für die Divergenz dann mit dem
> Minorantenkriterium.
>
> Stimmt das so?
nein.
1. Niemand hat gesagt, dass [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergent sind !
2. Aus $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=1 [/mm] $ folgt: es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
$1/2 [mm] \le \bruch{a_{n}}{b_{n}} \le [/mm] 3/2$ für n [mm] \ge [/mm] N
Hilft das ?
FRED
>
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