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| Aufgabe | Sei P die Übergangsmatrix einer Markovkette mit Zustandsraum Ω. Seien
µ und ν Verteilungen auf Ω. Dann gilt:
[mm] \|\mu P-\nu P\|_{TV} \le ||\mu -\nu ||_{TV} [/mm] |
Hallo,
also der Totalvariationsabstand definiert eine Metrik auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße über [mm] \Omega. [/mm] Und ich habe nun den Beweis gefunden, dass P eine Kontraktion auf diesem Raum ist. Dabei verstehe ich allerdings den ersten Schritt nicht, sowie den letzten.
Also der Beweis geht wie folgt:
Sei [mm] A\subseteq\Omega [/mm] beliebig und [mm] B=\{x\in\Omega | \mu(x)\ge\nu(x) \}\subseteq\Omega. [/mm] Dann ist
[mm] \mu P(A)-\nu P(A)=\sum_{y}(\mu(y)-\nu(y))(P(y,A)-P(z,A)), [/mm] wobei [mm] z\in\Omega [/mm] so gewählt ist, dass [mm] P(z,A)=\min_{x\in\Omega}P(x,A) [/mm] gilt.
Also es gibt ja einige alternative Definitionen für den Abstand in Totalvariation, aber da blick ich nicht wirklich durch. Ich dachte außerdem eher dass gilt:
[mm] \mu P(A)-\nu P(A)=\bruch{1}{2}\sum_{y}(\mu(y)-\nu(y))(P(y,A)), [/mm] aber da lieg ich wahrscheinlich falsch oder?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 03.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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