Konstruktion von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mo 25.12.2006 | | Autor: | n3cRo |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f : [mm] \mathbb [/mm] R -> [mm] \mathbb [/mm] R mit
f(x) := cos( 1/x ) falls x ungleich 0 und
f(x) := 1 falls x = 0
1. Konstruieren Sie eine reelle Folge (xn) n [mm] \in \mathbb [/mm] N mit [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] xn = 0 und [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] f(xn) = 1.
2. Konstruieren Sie eine reelle Folge (yn) n [mm] \in \mathbb [/mm] N mit [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] yn = 0 und [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] f(yn) = 0.
3. Ist f stetig im Punkt x = 0? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Soweit ich das verstanden habe gehe ich wiefolgt vor:
1. Der cos hat den Wert 1 an der Stelle 0 und ist 2pi-periodisch, daraus folgt cos(pi/2 + 2pi*n) = 0. Nun setzte ich das Argument des cosinus gleich 1/x und habe meinen Wert für xn.
2. Wenn ich dies allerdings hier mit pi/2 statt 0 probiere funktioniert dies leider nicht und ich verstehe nicht warum?!
3. Reicht es hier einfach den limes von cos(1/x) gegen 0 zu bilden?
|
|
| |
|
> Betrachten Sie die Funktion f : [mm]\mathbb[/mm] R -> [mm]\mathbb[/mm] R
> mit
>
> f(x) := cos( 1/x ) falls x ungleich 0 und
> f(x) := 1 falls x = 0
>
> 1. Konstruieren Sie eine reelle Folge (xn) n [mm]\in \mathbb[/mm] N
> mit [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] xn = 0 und [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm]
> f(xn) = 1.
>
> 2. Konstruieren Sie eine reelle Folge (yn) n [mm]\in \mathbb[/mm] N
> mit [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] yn = 0 und [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm]
> f(yn) = 0.
>
> 3. Ist f stetig im Punkt x = 0? Begründen Sie Ihre
> Antwort.
> 1. Der cos hat den Wert 1 an der Stelle 0 und ist
> 2pi-periodisch, daraus folgt cos(pi/2 + 2pi*n) = 0. Nun
> setzte ich das Argument des cosinus gleich 1/x und habe
> meinen Wert für xn.
Hallo,
ich habe diese Antwort bearbeitet, weil ich in der ersten Version etwas verdreht hatte.
wenn ich mir das,was Du schreibst, so recht zusammenreime, definierst Du Deine Folge [mm] (x_n) [/mm] durch [mm] x_n:=\bruch{1}{(\pi/2 + 2\pi*n)}=\bruch{2}{\pi(1+4n)}
[/mm]
[mm] x_n [/mm] --> 0, und [mm] f(x_n) [/mm] --> 0,
also hast Du alles, was Du für Teil 2. benötigst.
Nun fehlt Dir noch eine Folge, welche gegen 0 konvergiert, die Folge ihrer Funktionswerte aber gegen 1.
Es ist doch [mm] cos(2n\pi)=1, [/mm] also böte sich der Kehrwert von [mm] 2n\pi [/mm] als Folge [mm] y_n [/mm] an, d.h. wenn Du [mm] (y_n) [/mm] definierst als [mm] y_n:=\bruch{1}{2n\pi} [/mm] hast Du, was Du benötigst.
>
> 3. Reicht es hier einfach den limes von cos(1/x) gegen 0 zu
> bilden?
Schon - vorausgesetzt er existiert!
Wenn Du nämlich zwei Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] hast, welche beide gegen 0 konvergieren für n --> [mm] \infty, [/mm] die Folgen der Funktionswerte aber gegen verschiedenen Werte, sieht's schlecht aus mit der Stetigkeit der Funktion.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mo 25.12.2006 | | Autor: | n3cRo |
zu 2.
Ich gehe mal nach dem selben Schema wie bei 1. vor:
Der cosinus wird 0 an der Stelle pi/2, also kann man sagen, da der cosinus noch 2pi-periodisch ist: cosinus(pi/2 + 2pi*n) = 0. Wenn ich das Argument jetzt gleich 1/x setze, erhalte ich 1/(pi/2 + 2pi*n).
Gibt es vielleicht ein ganz allgemeines Schema, nach dem man Aufgaben dieser Art lösen kann?
|
|
|
| |
|
> zu 2.
> Ich gehe mal nach dem selben Schema wie bei 1. vor:
Hallo,
ich habe meine Antwort inzwischen editiert, weil ich Teil 1. und 2. verwechselt hatte. Guck am besten nochmal nach, ob Du wirklich alles verstanden hast.
Bei welcher Folge geht die Folge der Funktionswerte gegen 0? Bei welcher gegen 1?
> Gibt es vielleicht ein ganz allgemeines Schema, nach dem
> man Aufgaben dieser Art lösen kann?
Nun, ich denke, bei den Aufgaben in vergleichbarem Stil, die mit sin und cos zu tun haben, werden die überlegungen ähnlich sein.
Aber ein allgemeines Schema, welches für alle Funktionen verwendet werden kann, würde ich nicht anzugeben wagen.
Was allgemeingültig und sehr wichtig ist bei der Frage nach der Stetigkeit von Funktionen:
Die Frage nach der Stetigkeit beinhaltet ja, ob [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) [/mm] ist.
Ob dies so ist, kann man zeigen, indem man überprüft, ob für JEDE Folge [mm] (x_n), [/mm] welche gegen a konvergiert, die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] gegen f(a) geht.
Sobald man also zwei Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] gefunden hat, die beide gegen a gehen, die Folgen ihrer Funktionswerte aber gegen verschiedenen Werte (wie in der von Dir bearbeiteten Aufgabe) ist die Funktion nicht stetig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Di 26.12.2006 | | Autor: | n3cRo |
zur 1. Antwort:
wenn ich yn = 1/(2n*pi) setze, erhalte ich in Derive nur einen gestauchten Graph der cosinus-Funktion =(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Di 26.12.2006 | | Autor: | n3cRo |
Also irgendwie bekomm ich das nicht hin:
Damit der cosinus gegen 0 geht muss er gegen pi/2 gehen bzw. das x muss gegen 2/pi, aber wie kann die Folge gleichzeitig gegen 2/pi und gegen 0 gehen?!
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe den Verdacht, daß Du überhaupt nicht verstanden hast, worum es bei dieser Aufgabe geht.
Ich werde versuchen, sie Dir nocheinmal zu erklären.
Das Objekt des Interesses ist die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] definiert durch
[mm] f(n)=\begin{cases} cos\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not= \mbox{ 0} \\ 0, & \mbox{für } x= \mbox{ 0} \end{cases}
[/mm]
Die wirklich interessante Stelle dieser Funktion ist die Stelle x=0. Ist die Funktion hier stetig oder nicht?
Wäre die Funktion an der Stelle x=0 stetig, so würde gelten [mm] \limes_{x\rightarrow 0}cos\bruch{1}{x}=f(0)=0.
[/mm]
Die Untersuchung der Stelle x=0 ist Thema der Aufgabe.
Was bedeutet [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0) [/mm] ?
Das bedeutet (wie ich bereits im anderen Post schrieb), daß für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] gegen f(0) konvergiert, also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(0).
[/mm]
Die Aufgabe möchte Dich motivieren herauszufinden, daß f nicht stetig ist.
Um das zu zeigen, sollst Du zwei Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] finden, welche beide gegen (die zu betrachtende Stelle) 0 konvergieren, ihre die Folge ihrer Funktionswerte aber gegen verschiedenen Werte, die eine gegen 0=f(0), die andere gegen [mm] 1\not= [/mm] f(0).
Diese Folgen hatten wir inzwischen gefunden.
$ [mm] x_n:=\bruch{1}{(\pi/2 + 2\pi\cdot{}n)}=\bruch{2}{\pi(1+4n)} [/mm] $
und
$ [mm] y_n:=\bruch{1}{2n\pi} [/mm] $.
Offensichtlich konvergieren beide Folgen gegen 0.
Nun schauen wir die Folgen der Funktionswerte an:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}cos(\pi/2 [/mm] + [mm] 2\pi\cdot{}n)=0
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(y_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}cos(2n\pi)=1
[/mm]
Und weil es diese Folgen gibt, ist die Funktion nicht stetig.
Du schriebst:
"zur 1. Antwort:
wenn ich yn = 1/(2n*pi) setze, erhalte ich in Derive nur einen gestauchten Graph der cosinus-Funktion"
Du hast also die Funktion [mm] g(x):=cos(2x\pi) [/mm] geplottet.
Was macht Dich unzufrieden?
Guck' Dir die Funktion doch auf den natürlichen Zahlen an, auf den Stellen, die uns interessieren: es ist [mm] g(n)=f(y_n)=1, [/mm] das wollten wir doch.
Oder wonach suchst Du?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 26.12.2006 | | Autor: | n3cRo |
Ah vielen Dank endlich ist der Groschen gefallen habe das n Element N gar nicht wirklich beachtet. Aber mal eine kleine Anmerkung, ich glaube du hast xn und yn vertauscht bzw. xn sollte 1 werden und nicht yn.
Danke für die Hilfe und Mühe und einen schönen letzten Weihnachtstag noch.
|
|
|
| |
|
> Ah vielen Dank endlich ist der Groschen gefallen
Gut!
> Aber mal eine kleine
> Anmerkung, ich glaube du hast xn und yn vertauscht bzw. xn
> sollte 1 werden und nicht yn.
Daß mir das ziemlich schnell aufgefallen ist, kannst Du in meinem editierten ersten Post zum Thema nachlesen.
Auch hatte ich Dir das in der darauffolgenden Antwort mitgeteilt...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
