Konstruktion einer Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich arbeite gerade ein wenig nach und komme bei einer Sache nicht ganz weiter:
Ich habe eine Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 } [/mm]
und soll/möchte daraus jetzt eine r [mm] \times [/mm] r matrix machen. Laut Skript, kann ich mit dem basisergänzungssatz linear uabhängige zeilen und spalten finden und dann ggf. die l.a. zeilen/spalten streichen.. aber wie ist das bei so einer matrix??? Geht das vielleicht gar nicht???
Kann mir da jemand helfen?
Vielen dank schonmal
Liebe Grüße
pythagora
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Hallo,
hier bei den Zeilenvektoren handelt es sich um Vektoren im [mm] \IR^3, [/mm] die linear unabhängig sind. Laut dem Basisergänzungssatz kannst du das jetzt zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen, indem du einen weiteren linear unabhängigen Vektor hinzufügst.
Dann bekommst du eine 3x3 Matrix deren Zeilenvektoren eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
Hilft das ?
Lg
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hi,
danke schon mal
> Hilft das ?
ja, die erklärung war super, danke.
Ich glaube aber, dass ich mir beim Basisergänzungssatz noch nicht ganz sicher bin... (wir hatten dazu leider nicht wirklich viel.. ich habe versucht mir selber ne menge anzulesen... aber naja) warum kann ich denn eingentlich so einfach eine zeile ergänzen?? wirft das nicht das gesamte "konzept" meiner matrix über den haufen??
LG
pythagora
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hallo,
du kannst zeigen, dass alle Basen eines Vektorraumes dieselbe Anzahl an linear unabhängigen Vektoren enthalten. Daraus folgt nun, dass weniger als n linear unabhängige Vektoren, die im vektorraum (hier [mm] \IR^3) [/mm] enthalten sind, zu n linear unabhängigen Vektoren (also einer Basis) ergänzt werden können. Da gibt es so ein schönes Lemma, heißt hier "Substitution Lemma", das besagt, dass wenn [mm] \{v_1,...,v_k\} [/mm] den Vektorraum aufspannen und [mm] \{x_1,...x_r\} [/mm] linear unabhängige Vektoren sind, dann ist 1.) $ r [mm] \le [/mm] k $ und 2.) existiert [mm] \{w_1,...,w_{k-r}\}\subseteq\{v_1,...,v_k\} [/mm] so dass [mm] x_1,...x_r,w_1,...,w_{k-r} [/mm] eine Basis des von den v's aufgespannten Vektorraumes bilden.
Daraus folgt nun, wenn ein Vektorraum zwei Basen hat [mm] \{v_1,...,v_k\} [/mm] und [mm] \{x_1,...,x_r\} [/mm] , dass zum einen r [mm] \le [/mm] k und k [mm] \le [/mm] r (ich hoffe du kannst mir da folgen) [mm] \Rightarrow [/mm] r=k , es haben also alle Basen dieselbe Anzahl an Vektoren, ergo kannst du alle k linear unabhängigen Vektoren in einem Vektorraum zu einer Basis mit n Vektoren ergänzen. Weiterhin kann es nicht mehr als n linear unabhängige Vektoren geben, da das der Definition einer Basis widersprechen würde, als größtmögliches linear unabhängige Menge, die den Vektorraum aufspannt.
Ich hoffe das klärt deine Unklarheiten :)
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mo 19.04.2010 | | Autor: | pythagora |
Ah, ok, wow, super, danke^^
Vielen lieben Dank
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Mo 19.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
war dir das jetzt zu viel "pure mathematics shit" ? :D
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mo 19.04.2010 | | Autor: | pythagora |
Hi,
> war dir das jetzt zu viel "pure mathematics shit" ? :D
ist größtenteils ok und verständlich; aber trotzdem schwer nachzuvollziehen, dass ich einfach "irgendwas" ergänzen kann und dass es völlig wurscht ist womit ich das tue.
LG
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mo 19.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
nicht irgendwas, einen von den anderen linear unabhängigen vektor [mm] \in\IR^3 [/mm] .
das schränkt das ganz ziemlich ein.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mo 19.04.2010 | | Autor: | pythagora |
^^
aber es gibt ja nicht nur eine möglichkeit für einen l.u. vektor:
z.b.
1 2 3
2 3 5
ergänzen mit :
3 6 10
oder
4 9 12
dass es egal ist, was ich davon jetzt genau nehme finde ich.. naja.... komisch??
LG
pythagora
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