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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Konjunktion Jupiter-Saturn
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Konjunktion Jupiter-Saturn: Aufgabe für Weltraumtouristen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Sa 19.12.2020
Autor: Al-Chwarizmi

Zum Zeitpunkt der sogenannten "Großen Konjunktion" am 21. Dezember 2020 (also übermorgen) werden sich die beiden Planeten Saturn und Jupiter von der Erde aus gesehen bis auf einen Winkelabstand von nur 6.1 Winkelminuten annähern. Dabei wird der Jupiter etwa 0.88 Milliarden km von der Erde entfernt sein, der Saturn etwa 1.62 Milliarden km.

Und nun die Frage: Wie weit weg müsste man sich mit einem Raumschiff von der Erde weg bewegen (mindestens), wenn man eine "exakte" Konjunktion von Jupiter und Saturn beobachten möchte (Jupiter soll Saturn bedecken) ?


        
Bezug
Konjunktion Jupiter-Saturn: Frage (offen)
Status: (Frage) statuslos Status (unbefristet) 
Datum: 13:48 Sa 19.12.2020
Autor: ChopSuey

Dummy.

Bezug
        
Bezug
Konjunktion Jupiter-Saturn: Frage (offen)
Status: (Frage) statuslos Status (unbefristet) 
Datum: 13:51 Sa 19.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hi Al,

nette Frage… ich komme auf 3.123 Millionen km

Gruß,
Gono

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Konjunktion Jupiter-Saturn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Sa 19.12.2020
Autor: Al-Chwarizmi

Hi Gono !

Ich habe noch nicht einmal eine "exakte" Rechnung durchgeführt, komme aber jedenfalls auf dieselbe Größenordnung !

Liebe Grüsse,  Al

Bezug
                        
Bezug
Konjunktion Jupiter-Saturn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Sa 19.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hallo Al,

das lustige ist: Ich habe festgestellt, ich habe die falsche Strecke berechnet (Schenkel statt Höhe), die Zahlen sind aber anscheinend so nah beieinander, dass auf 4 Stellen nach dem Komma kein Unterschied festzustellen ist.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Konjunktion Jupiter-Saturn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Sa 19.12.2020
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich habe die
> falsche Strecke berechnet (Schenkel statt Höhe), die
> Zahlen sind aber anscheinend so nah beieinander, dass auf 4
> Stellen nach dem Komma kein Unterschied festzustellen ist.

Das liegt an der Kleinheit des Winkels. Aus diesem Grund habe ich
mich auch gar nicht um trigonometrische Funktionswerte bemüht
und einfach mal mit der Näherung  sin [mm] (\varepsilon) [/mm] ≈ [mm] \varepsilon [/mm]  gerechnet.



Bezug
        
Bezug
Konjunktion Jupiter-Saturn: Meine Lösungsvorschläge
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 So 20.12.2020
Autor: Al-Chwarizmi

[Dateianhang nicht öffentlich]

Der "klassische" Lösungsweg führt natürlich über die bekannten
trigonometrischen Sätze:

(1.)  Berechne im Dreieck ESJ mittels Cosinussatz die dritte
      Seitenlänge  $\ d\ =\ [mm] |\overline{JS}|$ [/mm] .
(2.)  Winkel [mm] \sigma [/mm] bei S mittels Sinussatz im Dreieck ESJ.
(3.)  Beobachterdistanz  $\ [mm] |\overline{EB}|\ [/mm] =\ r\ =\ s [mm] \cdot sin(\sigma)$ [/mm]

Wegen der extremen Kleinheit der Winkel $\ [mm] \varepsilon$ [/mm] und auch [mm] $\sigma [/mm] $ kann man
aber auch auf anderem Weg, nämlich mittels geeigneter Näherungen,
die Lösung ebenfalls (mit hoher Genauigkeit) ermitteln, im
Prinzip ganz ohne Nutzung trigonometrischer Funktionen.
Hier ein Vorschlag für einen solchen alternativen Lösungsweg:

(1.)  $\ h\ =\ j [mm] \cdot sin(\varepsilon)\ \approx\ [/mm]  j [mm] \cdot \varepsilon [/mm] $
(2.)  d ≈ s - j
(3.)  [mm] $\frac{r}{s}\ [/mm] =\ [mm] \frac{h}{d}$ [/mm] , also  $\ r\ =\ [mm] \frac{h \cdot s}{d}\ \approx\ \frac{j \cdot s}{s-j} \cdot \varepsilon$ [/mm]

Der "Fehler", welchen man bei dieser Simplifizierung der Rechnungen
begeht, beträgt im Schlussergebnis, also für die Strecke r, nur etwa
15 km  oder  0.004 Promille .  

Schöne Weihnachtstage an alle, die hier reingucken !

Al-Chw.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Konjunktion Jupiter-Saturn: Bild umwandeln
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:48 Di 22.12.2020
Autor: Infinit

Hallo Al-Chwarizmi,
Geogebra ist ein nicht sehr weit verbreitetes Datenformat. Könntest Du das Bild als normales JPEG-Bild noch mal hochladen?

Viele Grüße und ein schönes Weihnachtsfest,
Infinit

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