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Kongruenzen - Verständnisfrage: Kongruenzen bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 So 26.10.2014
Autor: Michi4590

Aufgabe
Kongruenzen bestimmen

Hi zusammen,

da bin ich schon wieder :-)

Eine Frage hätte ich noch zu den Kongruenzen:

Einmal steht in der Aufgabenstellung

[mm] 8 kongruent 20mod4 [/mm]

und das andere mal wieder:

[mm] a kongruent 16mod5[/mm]


Wo liegt denn hier der Unterschied?

Vielen Dank für Eure Hilfe :-) PS: Wo finde ich denn das Zeichen für kongruent. Wenn ich es von den Formeln unten übernehme, zeigt es nicht das gewünschte Zeichen an ;-)

        
Bezug
Kongruenzen - Verständnisfrage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Mo 27.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Kongruenzen bestimmen
>  Hi zusammen,
>  
> da bin ich schon wieder :-)
>  
> Eine Frage hätte ich noch zu den Kongruenzen:
>  
> Einmal steht in der Aufgabenstellung
>
> [mm]8 kongruent 20mod4[/mm]

    $8 [mm] \equiv [/mm] 20 [mm] \pmod [/mm] 4$  (oder $8 [mm] \equiv [/mm] 20 [mm] \mod [/mm] 4$)

> und das andere mal wieder:
>  
> [mm]a kongruent 16mod5[/mm]

    $a [mm] \equiv [/mm] 16 [mm] \pmod [/mm] 5$

> Wo liegt denn hier der Unterschied?

Häh?

    $8 [mm] \equiv [/mm] 20 [mm] \pmod [/mm] 4$

ist gleichbedeutend mit

    $4 [mm] \mid (8-20)\,,$ [/mm]

was wegen $4 [mm] \mid [/mm] -12$ Sinn macht. Du kannst also diese Kongruenz auf
"Korrektheit" prüfen. (So wäre $8 [mm] \equiv [/mm] 20 [mm] \pmod [/mm] 5$ falsch, also richtig wäre

    $8 [mm] \not\equiv [/mm] 20 [mm] \pmod 5\,.$) [/mm]

Und

    $a [mm] \equiv [/mm] 16 [mm] \pmod [/mm] 5$

ist gleichbedeutend mit

    $5 [mm] \mid (a-16)\,.$ [/mm]

Das ist übrigens nichts anderes als eine Charakterisierung von

    $a [mm] \in \{16+z*5:\;\; z \in \IZ\}=\{16,\;16-5,\;16+5,\;16-10,\;16+10,\;16-15,\;16+15,...\}=\{16,\;11,\;21,\;6,\;26,\;1,\;31,\;...\}$ [/mm]

Allgemein schreibt man für $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm]

    $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ (oder $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod [/mm] n$)

genau dann, wenn

    $n [mm] \mid (a-b)\,.$ [/mm]

Zudem

    $a [mm] \not\equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ (oder $a [mm] \not\equiv [/mm] b [mm] \pmod [/mm] n$)

genau dann, wenn

    $n [mm] \nmid (a-b)\,.$ [/mm]

> Vielen Dank für Eure Hilfe :-)

Ich empfehle, ab und an etwa einen Blick in das Buch "Elementare und
algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach, Piontkowski zu werfen.
Evtl. kannst Du es in der Bib ausleihen (notfalls Fernleihe).

> PS: Wo finde ich denn das
> Zeichen für kongruent. Wenn ich es von den Formeln unten
> übernehme, zeigt es nicht das gewünschte Zeichen an ;-)

Guck' Dir den Quelltext an oder halte die Maus über die Formeln oder
klick' auf die Formeln.

Ansonsten auch

   https://matheraum.de/mm [mm] ([nomm]$\equiv$[/nomm] [/mm] ist sicher das von Dir gesuchte Zeichen)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Kongruenzen - Verständnisfrage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 Mo 27.10.2014
Autor: Michi4590

Vielen Dank, ihr seit einfach klasse hier :-)

Bezug
                
Bezug
Kongruenzen - Verständnisfrage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Mo 27.10.2014
Autor: abakus


> Hallo,

>

> > Kongruenzen bestimmen
> > Hi zusammen,
> >
> > da bin ich schon wieder :-)
> >
> > Eine Frage hätte ich noch zu den Kongruenzen:
> >
> > Einmal steht in der Aufgabenstellung
> >
> > [mm]8 kongruent 20mod4[/mm]

>

> [mm]8 \equiv 20 \pmod 4[/mm] (oder [mm]8 \equiv 20 \mod 4[/mm])

Das kann man auch etwas umgangssprachlicher so formulieren:
"Die Zahl 8 lässt den gleichen Rest wie die Zahl 20 bei Teilung durch 4."
>

> > und das andere mal wieder:
> >
> > [mm]a kongruent 16mod5[/mm]

"Die Zahl a lässt den selben Rest wie die Zahl 16 bei Teilung durch 5."
(und da 16 bei Teilung durch 5 den Rest 1 lässt, steht a also für alle Zahlen, die bei Teilung durch 5 auch den Rest 1 lasssen, also 1, 6, 11,16,..., aber auch -4, -9, -14,...
Gruß Abakus 
>

> [mm]a \equiv 16 \pmod 5[/mm]

>

> > Wo liegt denn hier der Unterschied?

>

> Häh?

>

> [mm]8 \equiv 20 \pmod 4[/mm]

>

> ist gleichbedeutend mit

>

> [mm]4 \mid (8-20)\,,[/mm]

>

> was wegen [mm]4 \mid -12[/mm] Sinn macht. Du kannst also diese
> Kongruenz auf
> "Korrektheit" prüfen. (So wäre [mm]8 \equiv 20 \pmod 5[/mm]
> falsch, also richtig wäre

>

> [mm]8 \not\equiv 20 \pmod 5\,.[/mm])

>

> Und

>

> [mm]a \equiv 16 \pmod 5[/mm]

>

> ist gleichbedeutend mit

>

> [mm]5 \mid (a-16)\,.[/mm]

>

> Das ist übrigens nichts anderes als eine Charakterisierung
> von

>

> [mm]a \in \{16+z*5:\;\; z \in \IZ\}=\{16,\;16-5,\;16+5,\;16-10,\;16+10,\;16-15,\;16+15,...\}=\{16,\;11,\;21,\;6,\;26,\;1,\;31,\;...\}[/mm]

>

> Allgemein schreibt man für [mm]a,b \in \IZ[/mm] und [mm]n%20%5Cin%20%5CIN[/mm]

>

> [mm]a \equiv b \mod n[/mm] (oder [mm]a \equiv b \pmod n[/mm])

>

> genau dann, wenn

>

> [mm]n \mid (a-b)\,.[/mm]

>

> Zudem

>

> [mm]a \not\equiv b \mod n[/mm] (oder [mm]a \not\equiv b \pmod n[/mm])

>

> genau dann, wenn

>

> [mm]n \nmid (a-b)\,.[/mm]

>

> > Vielen Dank für Eure Hilfe :-)

>

> Ich empfehle, ab und an etwa einen Blick in das Buch
> "Elementare und
> algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach, Piontkowski
> zu werfen.
> Evtl. kannst Du es in der Bib ausleihen (notfalls
> Fernleihe).

>

> > PS: Wo finde ich denn das
> > Zeichen für kongruent. Wenn ich es von den Formeln unten
> > übernehme, zeigt es nicht das gewünschte Zeichen an ;-)

>

> Guck' Dir den Quelltext an oder halte die Maus über die
> Formeln oder
> klick' auf die Formeln.

>

> Ansonsten auch

>

> https://matheraum.de/mm
> ([mm]\equiv[/mm] ist sicher das von Dir gesuchte
> Zeichen)

>

> Gruß,
> Marcel

Bezug
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