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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 So 30.08.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
habe hier eine Stelle aus einem Beweis, die ich nicht so ganz verstehe.
Also sei [mm] $k\in \IN$. [/mm] Man betrachte die Summe [mm] $\sum_{v=1}^{p-1}(vk)^n$
[/mm]
Für jedes $vk$ existiert ein kleinster positiver Rest [mm] $m_v, 0\le m_v\le [/mm] p-1$ mit
[mm] $vk=m_v+pq$ [/mm] wobei [mm] ($q=[\bruch{vk}{p}]$). [/mm] (Dies ist nur Division mit Rest oder?)
Dann ist [mm] $(vk)^n\equiv m^n_v+m^{n-1}_v [/mm] npq [mm] \mod p^2$
[/mm]
[mm] $(vk)^n\equiv m^n_v+(vk)^{n-1}npq \mod p^2$.
[/mm]
Ist [mm] $k\not\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] p$, so bilden die Zahlen $vk$ für [mm] $1\le v\le [/mm] p-1$
eine Umordnung mod p der Zahlen v.
Wie kann ich mir das in Formeln vorstellen und wie kommt man darauf?
Es folgt:
[mm] $\sum_{v=1}^{p-1}m^n_v=\sum_{v=1}^{p-1}v^n$
[/mm]
Die Schlußfolgerung kann ich auch nicht nachvollziehen.
Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet, das zu verstehen.
Vielen Dank!
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 So 30.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
>
> habe hier eine Stelle aus einem Beweis, die ich nicht so
> ganz verstehe.
> Also sei [mm]k\in \IN[/mm]. Man betrachte die Summe
> [mm]\sum_{v=1}^{p-1}(vk)^n[/mm]
> Für jedes [mm]vk[/mm] existiert ein kleinster positiver Rest [mm]m_v, 0\le m_v\le p[/mm]
> mit
> [mm]vk=m_v+pq[/mm] wobei ([mm]q=[\bruch{vk}{p}][/mm]). (Dies ist nur
> Division mit Rest oder?)
> Dann ist [mm](vk)^n\equiv m^n_v+m^{n-1}_v npq \mod p^2[/mm]
>
> [mm](vk)^n\equiv m^n_v+(vk)^{n-1}npq \mod p^2[/mm].
>
> Ist [mm]k\not\equiv 0 \mod p[/mm], so bilden die Zahlen [mm]vk[/mm] für [mm]1\le v\le p-1[/mm]
>
> eine Umordnung mod p der Zahlen v.
> Wie kann ich mir das in Formeln vorstellen und wie kommt
> man darauf?
>
> Es folgt:
> [mm]\sum_{v=1}^{p-1}m^n_v=\sum_{v=1}^{p-1}v^n[/mm]
> Die Schlußfolgerung kann ich auch nicht nachvollziehen.
>
> Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet, das zu
> verstehen.
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> Christian
Hallo,
das Beweisfragment ist etwas aus dem Zusammenang heraus zitiert.
Ich nehme aber an, dass es hier um folgendes geht:
Die Summanden [mm] m^n_v [/mm] lassen sicherlich alle möglichen Reste von 1 bis p-1.
Möglicherweise lässt [mm] v^1, [/mm] einen anderen Rest als [mm] m^n_1, [/mm] und lässt [mm] v^2, [/mm] einen anderen Rest als [mm] m^n_2, [/mm] und lässt [mm] v^3, [/mm] einen anderen Rest als [mm] m^n_3 [/mm] usw., aber wenn auch die Summanden [mm] v^n [/mm] alle möglichen Reste lassen, so sind die beiden Restesummen gleich (weil sie, wenn auch nicht in der gleichen Reihenfolge, so doch die gleichen - nämlich alle möglichen - Summanden enthalten.)
Das ist sicher mit "Umordnung" gemeint.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 30.08.2009 | | Autor: | Fry |
Danke für die Antwort, aber kann man das auch irgendwie begründen?
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian,
> Danke für die Antwort, aber kann man das auch irgendwie
> begründen?
ist die Frage eigentlich noch aktuell, oder hat sich das durch meine Antwort erledigt?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Felix,
das hat sich durch deine Antwort für Erste erledigt : ).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 30.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian,
> Ist [mm]k\not\equiv 0 \mod p[/mm], so bilden die Zahlen [mm]vk[/mm] für [mm]1\le v\le p-1[/mm]
> eine Umordnung mod p der Zahlen v.
> Wie kann ich mir das in Formeln vorstellen und wie kommt
> man darauf?
Also $v$ und $k$ sind Elemente der Gruppe [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast [/mm] = [mm] \{ 1 + p \IZ, 2 + p \IZ, \dots, (p-1) + p \IZ \}$, [/mm] und allgemein ist die Rechtstranslation $G [mm] \to [/mm] G$, $x [mm] \mapsto [/mm] x k$ bijektiv. Damit ist [mm] $\{ v k + p \IZ \mid 1 \le v \le p - 1 \} [/mm] = [mm] \{ v + p \IZ \mid 1 \le v \le p - 1 \}$.
[/mm]
> Es folgt:
> [mm]\sum_{v=1}^{p-1}m^n_v=\sum_{v=1}^{p-1}v^n[/mm]
> Die Schlußfolgerung kann ich auch nicht nachvollziehen.
Nun, da [mm] $\{ m_1, \dots, m_{p-1} \} [/mm] = [mm] \{ 1, \dots, p-1 \}$ [/mm] ist (wegen der Umordnung) ist [mm] $\sum_{i=1}^{p-1} m_i^n [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{p-1} i^n$.
[/mm]
Ich hoffe das hlift dir etwas weiter...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
dank dir!
hat mich auf jeden Fall weitergebracht :).
Gruß
Christian
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