Kongruenzabbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Di 10.08.2004 | | Autor: | Wombat |
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Hallo
Meine Frage: (K, *) ist die Gruppe aller Kongruenzabbildungen der Ebene und (G,*) eine Untergruppe von (K,*)
* enthält G genau n gleichsinnige Abbildungen und mindestens eine ungleichsinnige , so enthält G 2n Elemente
* enthält G nur gleichsinnige Abbildungen, so ist G kommuntativ
ICH HOFFE MIR KANN EINER HELFEN: dANKE
Tina
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Hallo Tina!
Hm, es wäre schön, wenn Du einen Ansatz posten könntest, den Du schon gemacht hast oder falls gar nichts geht, genauer beschreiben, bei welcher Definition das Problem liegt...
Bei mir zum Beispiel fängt es schon damit an, dass ich nicht weiß, wie ihr "Kongruenzabbildungen der Ebene" definiert habt. Ist damit die Bewegungsgruppe der Ebene gemeint? Oder ist damit eine Kongruenzgruppe einer Figur in der Ebene gemeint?
Vielleicht doch ein Hinweis, wie Du voran kommen könntest:
1) Man überlege sich, dass das Produkt eines "gleichsinnigen" und eines "ungleichsinnigen" Elementes der Gruppe G ungleichsinnig sein muß. Falls $u$ das eine ungleichsinnige Element der Gruppe ist, das vorgegeben ist, überlege Dir, dass $gu$ für jedes der $n$ gleichsinnigen Elemente $g [mm] \in [/mm] G$ verschiedene Elemente liefert. Damit hast Du schon, dass es mindestens $2n$ Elemente in $G$ gibt.
2) Da die Menge aller gleichsinniger Abbildungen eine Gruppe bildet, muß es für diese auch gelten, also ist zu zeigen, dass je zwei gleichsinnige Bewegungen kommutieren. Jetzt hängt davon ab, was ihr mit "Bewegung" meint, sprich ob eine sogenannte "Translation" (Verschiebung) auch erlaubt ist, oder ob nur die sogenannte orthogonale Gruppe [mm] $O_2(\IR)$ [/mm] zugelassen ist, also die Gruppe aller orthogonalen $2x2$-Matrizen. In letzterem Fall kann man nicht schwer beweisen, dass jede gleichsinnige Abbildung (also Determinante 1) eine Drehung um 0 ist... und da ist ja die Kommutativität recht klar.
Lars
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