Konforme Abbildung (Kreis) < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:55 Di 21.01.2014 | | Autor: | Schnurrbert |
| Aufgabe | Gegeben ist die Abbildung [mm] W=\bruch{z+1}{z\otimes-1}, [/mm] sowie der Kreis mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt bei (1/i)
a) Bilden Sie diesen Kreis ab.
b) Welche Fixpunkte hat die Abbildung?
c) Wohin geht das Innere und Äußere des Kreises
d) Welcher Punkt geht ins unendliche und welcher Punkt kommt aus dem Unendlichen? |
Guten Abend,
mein Lehrer (Gymnasium, 13. Klasse) hat uns heute die oben stehende Aufgabe gegeben. Zunächst wollte ich versuchen auszurechnen, was die oben stehende Abbildung [mm] W=\bruch{z+1}{z\otimes-1} [/mm] (der Kreis nach dem z im Nenner soll ein Z-Stern sein) mit dem Kreis anstellt.
Im folgen soll das [mm] \otimes [/mm] bei [mm] w\otimes [/mm] für w(Sternchen) stehen, ich hoffe ihr kennt das unter dem Namen.
Anhand der meiner Meinung nach immer gleichen Vorüberlegung, dass [mm] x=\bruch{z+z\otimes}{2} [/mm] und [mm] y=\bruch{z-z\otimes}{2i} [/mm] ist, habe ich versucht, die Gleichung (y-1)²+(x-1)²=1 durch eine komplexe Gleichung darzustellen. Als Ergebnis erhalte ich dann die Gleichung [mm] z\*z\otimes [/mm] - [mm] (z\*(1-i) [/mm] - [mm] z\otimes\*(1+i)+1 [/mm] = 0
Problematisch wird es dann, wenn ich die versuche die Abbildung hierauf anzuwenden. So wird ja aus der Abbildung [mm] W=\bruch{z+1}{z\otimes-1} [/mm] je nach z und [mm] z\otimes [/mm] umgestellt heraus, dass [mm] z=\bruch{w\otimes\*w+2w+1}{w\otimes\*w-1} [/mm] und [mm] z\otimes [/mm] dementsprechend nur mit vertauschten Sternen ist (w wird zu [mm] w\otimes [/mm] und [mm] w\otimes [/mm] zu w).
Problematisch wird es nun, wenn ich versuche, meine Gleichung wieder reell zu machen. So ersetze ich alle z und [mm] z\otimes [/mm] mit seiner eben herausgefundenen Entsprechung und erhalte dann folgene Gleichung:
[mm] 0=\bruch{w\otimes\*w+2w+1}{w\otimes\*w-1}\*\bruch{w\*w\otimes+2w\otimes+1}{w\otimes\*w-1}-\bruch{w\otimes\*w+2w+1}{w\otimes\*w-1}\*(1-i)-\bruch{w\otimes\*w+2w\otimes+1}{w\otimes\*w-1}\*(1+i)+1
[/mm]
Wahrscheinlich stehe ich nur etwas auf dem Schlauch, aber wie gehe ich nun am besten als nächstes vor? Multipliziere ich einfach alles aus, um zu schauen, ob sich etwas wegkürzt, versuche ich den Nenner zu eliminieren oder setze ich einfach sofort für w und [mm] w\otimes [/mm] ihre reelle Entsprechung ein?
Ich hoffe, dass mir jemand hier weiterhelfen kann. Wenn jemand einen Fehler findet, eine bessere Weise kennt [mm] w\otimes [/mm] auszudrücken oder ähnliches, möge er das doch bitte sagen.
mit freundlichen Grüßen
Schnurrbert
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Di 21.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Abbildung [mm]W=\bruch{z+1}{z\otimes-1},[/mm] sowie
> der Kreis mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt bei (1/i)
>
> a) Bilden Sie diesen Kreis ab.
> b) Welche Fixpunkte hat die Abbildung?
> c) Wohin geht das Innere und Äußere des Kreises
> d) Welcher Punkt geht ins unendliche und welcher Punkt
> kommt aus dem Unendlichen?
> Guten Abend,
>
> mein Lehrer (Gymnasium, 13. Klasse) hat uns heute die oben
> stehende Aufgabe gegeben. Zunächst wollte ich versuchen
> auszurechnen, was die oben stehende Abbildung
> [mm]W=\bruch{z+1}{z\otimes-1}[/mm] (der Kreis nach dem z im Nenner
> soll ein Z-Stern sein) mit dem Kreis anstellt.
>
> Im folgen soll das [mm]\otimes[/mm] bei [mm]w\otimes[/mm] für w(Sternchen)
> stehen, ich hoffe ihr kennt das unter dem Namen.
>
> Anhand der meiner Meinung nach immer gleichen
> Vorüberlegung, dass [mm]x=\bruch{z+z\otimes}{2}[/mm] und
> [mm]y=\bruch{z-z\otimes}{2i}[/mm] ist, habe ich versucht, die
> Gleichung (y-1)²+(x-1)²=1 durch eine komplexe Gleichung
> darzustellen. Als Ergebnis erhalte ich dann die Gleichung
> [mm]z\*z\otimes[/mm] - [mm](z\*(1-i)[/mm] - [mm]z\otimes\*(1+i)+1[/mm] = 0
>
> Problematisch wird es dann, wenn ich die versuche die
> Abbildung hierauf anzuwenden. So wird ja aus der Abbildung
> [mm]W=\bruch{z+1}{z\otimes-1}[/mm] je nach z und [mm]z\otimes[/mm] umgestellt
> heraus, dass [mm]z=\bruch{w\otimes\*w+2w+1}{w\otimes\*w-1}[/mm]
> und [mm]z\otimes[/mm] dementsprechend nur mit vertauschten Sternen
> ist (w wird zu [mm]w\otimes[/mm] und [mm]w\otimes[/mm] zu w).
>
> Problematisch wird es nun, wenn ich versuche, meine
> Gleichung wieder reell zu machen. So ersetze ich alle z und
> [mm]z\otimes[/mm] mit seiner eben herausgefundenen Entsprechung und
> erhalte dann folgene Gleichung:
>
> [mm]0=\bruch{w\otimes\*w+2w+1}{w\otimes\*w-1}\*\bruch{w\*w\otimes+2w\otimes+1}{w\otimes\*w-1}-\bruch{w\otimes\*w+2w+1}{w\otimes\*w-1}\*(1-i)-\bruch{w\otimes\*w+2w\otimes+1}{w\otimes\*w-1}\*(1+i)+1[/mm]
>
>
> Wahrscheinlich stehe ich nur etwas auf dem Schlauch, aber
> wie gehe ich nun am besten als nächstes vor? Multipliziere
> ich einfach alles aus, um zu schauen, ob sich etwas
> wegkürzt, versuche ich den Nenner zu eliminieren oder
> setze ich einfach sofort für w und [mm]w\otimes[/mm] ihre reelle
> Entsprechung ein?
>
> Ich hoffe, dass mir jemand hier weiterhelfen kann. Wenn
> jemand einen Fehler findet, eine bessere Weise kennt
> [mm]w\otimes[/mm] auszudrücken oder ähnliches, möge er das doch
> bitte sagen.
>
> mit freundlichen Grüßen
>
> Schnurrbert
>
> Nur für Erst-Poster
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Hallo,
was du mit deinem [mm]z\otimes[/mm] ausdrücken willst, ist doch sicher die zu z konjugiert komplexe Zahl?
Ich kenne dafür nur die Bezeichnung [mm]\overline{z}[/mm].
Aber das soll kein Hindernis sein.
z hat die Form x+i*y, somit ist [mm]W=\bruch{x+iy+1}{x-iy-1}=\bruch{x+1+iy}{x-1-iy}=\bruch{(x+1)+iy}{(x-1)-iy}*\bruch{(x-1)+iy}{(x-1)+iy}=\bruch{x^2-1-y^2-2iy}{(x-1)^2+y^2}[/mm]
Hilt das erst einmal weiter?
Gruß Abakus
>
|
|
|
| |
|
Hallo,
erst einmal vielen Dank, dass Du so schnell eine Antwort geschrieben hast. Weiterhelfen tut es mir leider momentan nur bedingt.
In den Aufgaben, die wir vor dieser gerechnet hatten, welche natürlich auch noch etwas einfacher waren, war es stets so, dass wir, um die Gleichung reell zu machen, W einfach mit x+iy und [mm] \overline{w} [/mm] mit x-iy ersetzt haben. Nun hast Du ja, wenn ich das richtig verstanden habe, das W der Abbildung bestimmt, indem Du z mit x+iy und [mm] \overline{z} [/mm] mit x-iy ersetzt hast. Ist das notwendig oder reden wir von zwei verschiedenen Dingen bzw. worin liegt da der Unterschied.
Aber sagen wir nun einmal, Du hast recht, ersetze ich nun jedes W und jedes [mm] \overline{W} [/mm] meiner langen, letzten Gleichung mit dem von Dir beschriebenen Werten für W? Weil dann wird die Gleichung ja noch 5x länger und immer komplizierter.
mit freundlichen Grüßen
Schnurrbert
|
|
|
| |
|
Mit [mm]z^{\*}[/mm] meinst du vermutlich die zu [mm]z[/mm] konjugiert komplexe Zahl, die man allerdings gemeinhin mit [mm]\overline{z}[/mm] bezeichnet.
Deine bisherigen Rechnungen scheinen mir zu stimmen. Ich habe das mit einem CAS weitergerechnet und [mm]w[/mm] in Real- und Imaginärteil zerlegt: [mm]w = u + \operatorname{i}v[/mm]. So kam ich schließlich auf
[mm](u+1)^2 - v (u^2-1) - v^2(v-1) = 0[/mm]
Das ist nun gerade keine besonders schöne Kurve. Immerhin ist die Gleichung quadratisch in [mm]u[/mm] und kann daher, falls gewünscht, nach [mm]u[/mm] aufgelöst werden.
Im Anhang findest du eine Animation. Zum Öffnen der Datei brauchst du das Programm ![[]](/images/popup.gif) Euklid.
EDIT
Ich habe übrigens den Verdacht, daß deine Angabe nicht stimmt und in Wirklichkeit die Abbildung [mm]w = \frac{z+1}{z-1}[/mm] gemeint ist. Das ist eine sogenannte Möbius-Transformation. Von einer solchen ist bekannt, daß sie Kreise auf Kreise abbildet, wobei hier der Kreisbegriff auch Geraden einschließt, die man als Kreise durch [mm]\infty[/mm] auffaßt.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Mit [mm]z^{\*}[/mm] meinst du vermutlich die zu [mm]z[/mm] konjugiert
> komplexe Zahl, die man allerdings gemeinhin mit
> [mm]\overline{z}[/mm] bezeichnet.
>
> Deine bisherigen Rechnungen scheinen mir zu stimmen. Ich
> habe das mit einem CAS weitergerechnet und [mm]w[/mm] in Real- und
> Imaginärteil zerlegt: [mm]w = u + \operatorname{i}v[/mm]. So kam
> ich schließlich auf
>
> [mm](u+1)^2 - v (u^2-1) - v^2(v-1) = 0[/mm]
>
> Das ist nun gerade keine besonders schöne Kurve. Immerhin
> ist die Gleichung quadratisch in [mm]u[/mm] und kann daher, falls
> gewünscht, nach [mm]u[/mm] aufgelöst werden.
>
> EDIT
> Ich habe übrigens den Verdacht, daß deine Angabe nicht
> stimmt und in Wirklichkeit die Abbildung [mm]w = \frac{z+1}{z-1}[/mm]
> gemeint ist. Das ist eine sogenannte
> Möbius-Transformation. Von einer solchen ist bekannt, daß
> sie Kreise auf Kreise abbildet, wobei hier der Kreisbegriff
> auch Geraden einschließt, die man als Kreise durch [mm]\infty[/mm]
> auffaßt.
Auch an Dich vielen Dank. Also die Aufgabe war 100%ig so, nur kann es trotzdem sein, dass die letztendlich nur eine ganz eklige Lösung bekommt, da sich mein Lehrer die immer recht spontan ausdenkt und er nie nach Buch arbeitet.
Und danke für das Ergebnis, jetzt weiß ich wenigstens schonmal, was am Ende rauskommen sollte. Nur leider habe ich jetzt durchs Einsetzen von x+iy und x-iy für w und [mm] \overline{w} [/mm] elendig lange quadratische Funktionen, die ich leider kaum vereinfacht bekomme.
|
|
|
| |
|
Ich sehe nicht, wie sich eine leicht mühsame Rechnung vermeiden läßt. Immerhin fällt [mm]x^3[/mm] (bei mir [mm]u^3[/mm]) aus der Rechnung heraus. Aber wie schon gesagt: Wahrscheinlich hat dein Lehrer sich da sowieso vertan. Frag also einfach noch einmal nach, ob die Abbildung wirklich so lauten muß.
|
|
|
| |
|
Da hast du natürlich recht.
Ich bin nun nach eifrigem Rechnen zu folgender Gleichung gekommen:
[mm] (\bruch{x^{2}y^{2}+2x+2iy+1}{x^{2}y^{2}-1}\*\bruch{x^{2}y^{2}+2x-2iy+1}{x^{2}y^{2}-1})-\bruch{4y}{x^{2}y^{2}-1}-2\*(\bruch{x^{2}y^{2}-4x-2}{x^{2}y^{2}-1})+1 [/mm] = 0
Ich habe immerhin schonmal geschafft, dass sich außer in dem Teil, den ich noch multiplizieren muss, sich kein i mehr in der Gleichung befindet. Meine Frage wäre nun, ob es einen Weg gibt das [mm] (x^{2}y^{2}-1) [/mm] irgendwie aus dem Nenner bekomme, obwohl er auf der linken Seite natürlich noch einmal mit sich selbst multipliziert wird. Oder muss ich alternativ einfach alles ausmultiplizieren, wodurch ich dann natürlich einmal [mm] (x^{2}y^{2}-1) [/mm] (rechte Seite) und einmal [mm] (x^{4}y^{4}-2x^{2}y^{2}+1) [/mm] (linke Seite) im Nenner hätte.
mit freundlichen Grüßen
Schnurrbert
|
|
|
| |
|
Bringe alle 4 Summanden (ich hoffe, sie stimmen so) auf den Hauptnenner [mm]\left( x^2 y^2 - 1 \right)^2[/mm] und multipliziere mit dem Hauptnenner durch. Übrigens: Auf der rechten Seite steht 0 (in Worten: Null).
Und dann wirst du wohl im Zähler alles ausmultiplizieren müssen. Glücklicherweise heben sich ein paar Sachen dabei heraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mi 22.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe starke Zweifel, dass diese Aufgabe so auf die Schule passt. Die Abbildung ist nicht konform, die Kurve die bei der Abbildung entsteht, ist nichts, was man auf der Schule wiedererkennen kann, deshalb ist auch die Frage nach bild des Inneren und Äußeren des Kreises kaum zu beantworten.
Ich vermute daher stark, dass der Lehrer (oder du) sich verschrieben hat, und nicht [mm] \overline{z} [/mm] im Nenner steht, sondern z, dann ist das Eine Abbildung die man verstehen kann.
Wenn du wirklich diese Abbildung betrachten sollst solltest du den Kreis als Kurve darstellen [mm] c(t)=1+i+e^{it} [/mm] oder c(t)=1+i+cos(t)+isint
Gruss leduart
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> ich habe starke Zweifel, dass diese Aufgabe so auf die
> Schule passt. Die Abbildung ist nicht konform, die Kurve
> die bei der Abbildung entsteht, ist nichts, was man auf der
> Schule wiedererkennen kann, deshalb ist auch die Frage nach
> bild des Inneren und Äußeren des Kreises kaum zu
> beantworten.
> Ich vermute daher stark, dass der Lehrer (oder du) sich
> verschrieben hat, und nicht [mm]\overline{z}[/mm] im Nenner steht,
> sondern z, dann ist das Eine Abbildung die man verstehen
> kann.
> Wenn du wirklich diese Abbildung betrachten sollst
> solltest du den Kreis als Kurve darstellen [mm]c(t)=1+i+e^{it}[/mm]
> oder c(t)=1+i+cos(t)+isint
> Gruss leduart
> Gruß leduart
Hallo,
es kann gut sein, dass die Aufgabe von ihm falsch gestellt bzw. nicht ganz bis zu Ende gedacht war. Ich habe nach ewigem rumrechnen und ausmultiplizieren auch ein Ergebnis heraus, welches meiner Meinung nach aber nicht wirklich richtig sein kann, aber das wird sich ja morgen herausstellen.
Auf jeden Fall danke ich allen, die sich heran beteiligt haben, sehr dafür.
mit freundlichen Grüßen
Schnurrbert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Mi 22.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast das unter konforme Abb. eingestellt, mit [mm] \overline{z} [/mm] ist die Abb. nicht konform.
Gruß leduart
|
|
|
|
