Kondition einer Matrix < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Do 08.05.2014 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kondition [mm] \kappa _{2}(A) = \parallel A \parallel _{2} \parallel A ^- ^1 \parallel _{2}[/mm] der Matrix
[mm]A = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3} [/mm]
ohne die Inverse von A zu berechnen. |
Hätte mal jemand einen Tipp, wie ich da am besten vorfahre.
Vielen Dank im Voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 08.05.2014 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | <br>
Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es sich um eine symmetrische, positiv definite Matrix handelt?
Dann müsste ich nur den größten Eigenwert durch den kleinsten Teilen und würde die Kondition erhalten. |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> <br>
> Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass es sich um eine
> symmetrische, positiv definite Matrix handelt?
Positiv definit ist die Matrix aber nicht !
FRED
>
> Dann müsste ich nur den größten Eigenwert durch den
> kleinsten Teilen und würde die Kondition erhalten.
>
> <br>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Kondition [mm] \kappa _{2}(A) = \parallel A \parallel _{2} \parallel A ^- ^1 \parallel _{2}[/mm] der
> Matrix
>
> [mm]A = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3} [/mm]
> ohne
> die Inverse von A zu berechnen.
>
> Hätte mal jemand einen Tipp, wie ich da am besten
> vorfahre.
>
Harry, fahr den Wagen vor ?
A ist symmetrisch, daher gilt:
[mm] \kappa_2(A)= \bruch{| \lambda_m|}{| \lambda_M|},
[/mm]
Edit: natürlich so rum:
[mm] \kappa_2(A)= \bruch{| \lambda_M|}{| \lambda_m|},
[/mm]
wobei [mm] \lambda_m [/mm] der kleinste und [mm] \lambda_M [/mm] der größte Eigenwert von A ist.
FRED
> Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Do 08.05.2014 | | Autor: | Paddi15 |
Vielen Dank.
Dann lag ich doch richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 08.05.2014 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | Sicher, dass der kleinste durch den größten EW geteilt werden soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Do 08.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Paddi,
Freddy FRED lügt nicht. 
Okay, anscheinend doch ein kleiner Tippfehler.
Aus einem alten Beitrag von mir kopiere ich folgendes:
Ist $A$ regulär, dann gilt:
[mm] \kappa(A)\ge\left|\frac{\lambda_{\text{max}}(A)}{\lambda_{\text{min}}(A)}\right|. [/mm]
Ist [mm] $A\in\IR^{m\times n}$ [/mm] mit [mm] $m\ge [/mm] n$ und [mm] $\DeclareMathOperator{\Rang}{Rang(A)}=n$, [/mm] dann gilt:
[mm] \kappa_2(A^T*A)=\frac{\lambda_{\text{max}}(A^T*A)}{\lambda_{\text{min}}(A^T*A)}. [/mm]
Ist $A$ regulär und symmetrisch, dann gilt:
[mm] \kappa_2(A)=\left|\frac{\lambda_{\text{max}}(A)}{\lambda_{\text{min}}(A)}\right|. [/mm]
Ist $A$ nicht symmetrisch, dann ist im Allgemeinen
[mm] \left|\frac{\lambda_{\text{max}}(A)}{\lambda_{\text{min}}(A)}\right| [/mm]
ein schlechtes Konditionsmaß.
Ist $A$ regulär, dann gilt:
[mm] 1\le\kappa_2(A)\le\kappa_{F}(A)\le n\kappa_{\infty}(A). [/mm]
Den dritten Satz benutzt du hier. Beweise ihn!
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Paddi,
>
Hallo Acht, hab acht:
> Freddy FRED lügt nicht.
Das nicht, aber er hat am Achten Mai Null Acht gegeben.
Achtungsvolle Grüße
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sicher, dass der kleinste durch den größten EW geteilt
> werden soll.
Ne, hab mich vertippt !
FRED
>
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