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Hallo zusammen,
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter
| Aufgabe | Es sei [mm]S\in\mathbb{R}^{n\times n}[/mm] eine symmetrische Matrix mit den Eigenwerten [mm]0 \le \left|\lambda_1\right| \le \dotsb \le \left|\lambda_n\right|[/mm]. Zeigen Sie:
[mm]\operatorname{cond}_2 S = \left\|S\right\|_2\left\|S^{-1}\right\|_2 = \frac{\left|\lambda_n\right|}{\left|\lambda_1\right|}[/mm].
Hinweis: [mm]S[/mm] läßt sich diagonalisieren: [mm]S = TDT^H[/mm], wobei [mm]T[/mm] spaltenweise die Eigenvektoren und die Diagonalmatrix [mm]D[/mm] die Eigenwerte von [mm]S[/mm] enthält. |
Ich weiß leider keinen Ansatz für diese Aufgabe. Ich habe diese Diagonalisierung anhand einer [mm]2\times 2\texttt{-Matrix}[/mm] ausprobiert aber selbst da kam ich nicht sehr weit:
[mm]\begin{pmatrix}
v_1^{(1)} & v_1^{(2)}\\
v_2^{(1)} & v_2^{(2)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_1^{(1)} & v_2^{(1)}\\
v_1^{(2)} & v_2^{(2)}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
v_1^{(1)} & v_1^{(2)}\\
v_2^{(1)} & v_2^{(2)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda_1v_1^{(1)} & \lambda_1v_2^{(1)}\\
\lambda_2v_1^{(2)} & \lambda_2v_2^{(2)}
\end{pmatrix}[/mm]
Jetzt kann man einerseits so weiter umformen:
[mm]= \left(v^{(1)},v^{(2)}\right)\begin{pmatrix}Sv^{(1)}\\Sv^{(2)}\end{pmatrix}[/mm]
Allerdings sehe ich nicht, wie man hier noch weiterumformen könnte.
Oder aber man multipliziert weiter aus:
[mm]= \begin{pmatrix}
v_1^{(1)}\lambda_1v_1^{(1)} + v_1^{(2)}\lambda_2v_1^{(2)} & v_1^{(1)}\lambda_1v_2^{(1)} + v_1^{(2)}\lambda_2v_2^{(2)}\\
v_2^{(1)}\lambda_1v_1^{(1)} + v_2^{(2)}\lambda_2v_1^{(2)} & v_2^{(1)}\lambda_1v_2^{(1)} + v_2^{(2)}\lambda_2v_2^{(2)}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
v_1^{(1)}\lambda_1v_1^{(1)} & v_1^{(1)}\lambda_1v_2^{(1)}\\
v_2^{(1)}\lambda_1v_1^{(1)} & v_2^{(1)}\lambda_1v_2^{(1)}
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
v_1^{(2)}\lambda_2v_1^{(2)} & v_1^{(2)}\lambda_2v_2^{(2)}\\
v_2^{(2)}\lambda_2v_1^{(2)} & v_2^{(2)}\lambda_2v_2^{(2)}
\end{pmatrix}[/mm]
Aber auch hier ist nicht ganz klar wieso das [mm]S[/mm] ist? Und für den allgemeinen Fall ist mir noch nichts Sinnvolles eingefallen...
Wäre schön, wenn mir jemand einen Ansatz/Idee geben könnte?
Danke!
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Der Trick ist:
1. Die Spektralnorm ist bzgl. orthogonaler Transformationen inveriant, d.h. [mm]||S||_2=||D||_2[/mm]
2. Die Inverse von S läßt sich direkt hinschreiben. Invertieren des Produkts=vertauschen und einzeln invertieren.
Kommst Du damit weiter.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
> Hallo Karl,
> Der Trick ist:
> 1. Die Spektralnorm ist bzgl. orthogonaler
> Transformationen inveriant, d.h. [mm]||S||_2=||D||_2[/mm]
>
> 2. Die Inverse von S läßt sich direkt hinschreiben.
> Invertieren des Produkts=vertauschen und einzeln
> invertieren.
Also ich kann das ja folgendermaßen umformen:
[mm]S = \left(TDT^H\right)^{-1} = \left(T^{-1}\right)^HD^{-1}T^{-1}[/mm]
und aus 1. schließe ich sofort, daß [mm]\left\|D\right\|_2 = \sqrt{\rho\left(DD^H\right)} = \sqrt{\rho\left(D^2\right)} = \left|\lambda_n\right|[/mm], wobei ich dann noch schauen muß, wie ich das mit der Invarianz zeige.
Aber wie sehe ich, daß [mm]\left\|\left(T^{-1}\right)^HD^{-1}T^{-1}\right\|_2 = \tfrac{1}{\left|\lambda_1\right|}[/mm] gilt?
Irgendwie leuchtet es mir noch nicht so ein ... oder es ist einfach schon etwas spät... ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]") !
Danke!
Grüße
Karl
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Hallo Karl,
>
> [mm]S = \left(TDT^H\right)^{-1} = \left(T^{-1}\right)^HD^{-1}T^{-1}[/mm]
>
>
> und aus 1. schließe ich sofort, daß [mm]\left\|D\right\|_2 = \sqrt{\rho\left(DD^H\right)} = \sqrt{\rho\left(D^2\right)} = \left|\lambda_n\right|[/mm],
> wobei ich dann noch schauen muß, wie ich das mit der
> Invarianz zeige.
Ich sehe gerade unbedingt brauchst Du das gar nicht dafür kannst. Das bei symmetrischem A die Eigenwerte von A^TA gleich den Quadraten der Eigenwerte von A sind ist auch so ersichtlich.
[mm] $A^T*A*x=A*A*x=A*(\lambda [/mm] *x [mm] )=\lambda*(Ax)=\lambda^2*x [/mm] $
>
> Aber wie sehe ich, daß
> [mm]\left\|\left(T^{-1}\right)^HD^{-1}T^{-1}\right\|_2 = \tfrac{1}{\left|\lambda_1\right|}[/mm]
> gilt?
Zunächst: [mm] T^{-1}=T^H
[/mm]
Für [mm] A^{-1}
[/mm]
[mm] $Ax=\lambda [/mm] x$
[mm] $x=A^{-1} \lambda [/mm] x$
[mm] $A^{-1}x=\bruch{1}{\lambda}x$
[/mm]
Wenn [mm] \lambda [/mm] also ein Eigenwert von A dann ist [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] Eigenwert von [mm] A^{-1}
[/mm]
So jetzt habe ich Dich mit einem 2. WEg verwirrt stimmts aber ohne Diagonalähnlichkeit finde ich' irgendwie schöner.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo mathemaduenn!
Vielen Dank für die Hilfe! Ich hätte jetzt nicht gedacht, daß es ohne TDT geht. Ich sollte mir das mal endlich merken:
[mm]Ax = \lambda x[/mm].
Das scheint der Schlüssel für viele Aufgaben solcher Art zu sein. 
Grüße
Karl
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