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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 So 15.01.2006 | | Autor: | Pacapear |
Huhu alle zusammen!
Ich bereite mich gerade auf meine Numerik-Klausr vor (besser gesagt ich versuche es  ) und komme schon beim Thema Kondition nicht weiter :-(.
Ich hab hier 2 Definitionen:
Definition 1
[mm] \sigma_{ij} [/mm] := [mm] \bruch{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x) [/mm] heißt die absolue Konditionszahl des i-ten Resultats in Bezug auf die j-te Komponente des Eingabedatenvektors.
Definition 1
[mm] \tau_{ij} [/mm] := [mm] \bruch{x_{j}}{f_{i}(x)} [/mm] * [mm] \bruch{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x) [/mm] heißt die relative Konditionszahl des i-ten Resultats in Bezug auf die j-te Komponente des Eingabedatenvektors.
So, mein Problem ist, das ich das überhaupt gar nicht verstehe. Es fängt schon damit an, dass ich in der Schule nie gelernt habe, was dieses [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] und [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] bedeutet, und nun überhaupt nicht weiß, was es genau bedeutet. Ich weiß nur, dass es etwas mit Ableitung zu tun hat.
Und ich verstehe nicht, was die i und die j sind. In den Definitionen steht ja was von Vektoren, aber ich weiß gar nicht, was ich mir da konkret darunter vorstellen muss.
Ich hoffe, ihr könnt mir bei dem Thema Kondition weiter helfen, und es mir irgendwie in "Normaldeutsch" (ohne irgendwelches mathematisches Vokabular ) er klären.
Ich bin für jede Hilfe sehr sehr dankbar, bin nämlich schon total am verzweilfeln...
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
Ich mach mal ein Bsp.
Eingabedatenvektor
x= [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
Funktionen
[mm] \vektor{f_1 \\ f_2}= \vektor{x_1^2+x_2^2 \\ x_1*x_2^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f_1}{\partial x_1} [/mm] bedeutet ja partielle Ableitung von [mm] f_1 [/mm] nach [mm] x_1 [/mm] was bedeutet [mm] f_1 [/mm] wird abgeleitet als wäre [mm] x_1 [/mm] die einzigste Variable und [mm] x_2 [/mm] konstant.
Also
[mm] \bruch{\partial f_1}{\partial x_1}=2x_1
[/mm]
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo mathemaduenn,
vielen Dank für das Beispiel, es war echt gut nachzuvollziehen.
Allerdings verstehe ich folgendes noch nicht so ganz:
> Funktionen
> [mm]\vektor{f_1 \\ f_2}= \vektor{x_1^2+x_2^2 \\ x_1*x_2^3}[/mm]
Zu der Funktion:
Handelt es sich hierbei um 2 Funktionen, oder um eine? Mir ist nicht klar, warum (und wie) man eine Funktion f aufsplitten kann in [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2. [/mm]
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Nadine!
Es handelt sich um eine Funktion $f: [mm] \IR^2 \to \IR^2$
[/mm]
[mm] $f\left( \pmat{x_1 \\ x_2} \right) [/mm] = [mm] \pmat{x_1^2 + x_2^2 \\ x_1 + x_2^3}$.
[/mm]
Das Bild besteht ja aus zwei Komponenten. Diese beiden Komponenten kann man als Funktionen
[mm] $f_i [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] ($i=1,2$)
mit
[mm] $f_1\left( \pmat{x_1 \\ x_2} \right) [/mm] = [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2$
[/mm]
und
[mm] $f_2\left( \pmat{x_1 \\ x_2} \right) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2^3$
[/mm]
auffassen, so dass man
$f = [mm] \pmat{f_1 \\ f_2}$
[/mm]
im Sinne von
$f [mm] \left( \pmat{x_1 \\ x_2} \right) [/mm] = [mm] \pmat{ f_1 \left( \pmat{x_1 \\ x_2} \right) \\ f_2 \left( \pmat{x_1 \\x_2} \right) }$
[/mm]
erhält.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Di 17.01.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Julius.
Danke für deine Antwort. Ich hab noch eine Frage dazu:
Sind diese Abbildungen immer vom [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^2?
[/mm]
Steht deswegen in den Definitionen bei [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] im Index ein i und ein j? Einmal wegen Komponente 1 und wegen Komponente 2? Oder welche Bedeutung haben die beiden Indizes überhaupt?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Sind diese Abbildungen immer vom [mm]\IR^2[/mm] in den [mm]\IR^2?[/mm]
Nein das ist beliebig. es hätte auch von [mm]\IR^{100}[/mm] nach [mm]\IR^{350}?[/mm] sein können. Aber da hätte ich Probleme gehabt mir ein Bsp. auszudenken 
> Steht deswegen in den Definitionen bei [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] im
> Index ein i und ein j? Einmal wegen Komponente 1 und wegen
> Komponente 2? Oder welche Bedeutung haben die beiden
> Indizes überhaupt?
Die Indizes laufen durch. Für ein [mm]\IR^{100}[/mm] nach [mm]\IR^{350}?[/mm] Beispiel kannst Du für j alle Zahlen zw. 1 und 100 einsetzen und für i Zahlen zw. 1 und 350. Es gäbe also 350*100=35000 verschiedene Konditionszahlen. Für "mein" Bsp. gäbe es also 4 verschiedene absolute Konditionszahlen und 4 verschiedene relative Konditionszahlen.
viele Grüße
mathemaduenn
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