Komposition < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Moin moin,
kann mir vielleicht jemand freundlicherweise sagen ob folgende Aufgaben so korrekt gelöst sind?
a) Man zeige:
[mm] (f+g)\circ\ h=(f\circ\ h)+(g\circ\ [/mm] h)
Meine Lösung: [mm] (f+g)\circ\ h=(((f+g)\circ\ [/mm] h)(x)) [mm] =((f+g)(h(x)))=(f(h(x))+g(h(x)))=(f\circ\ h)+(g\circ\ [/mm] h)
b) Gilt auch stets:
[mm] f\circ(g+h)=(f\circ\ g)+(f\circ\ [/mm] h) ?
Meine Lösung:
Beh.: Es gilt nicht stets.
Bew.: Seien Funktionen [mm] f(x)=x^2; [/mm] g(x)=x; h(x)=x+2 gegeben mit [mm] x\in\IN.
[/mm]
Dann ist [mm] f\circ(g+h)=f\circ(2x+2)=(2x+2)^2=x^2+8x+4
[/mm]
Und [mm] (f\circ\ g)+(f\circ\ h)=x^2+(x+2)^2=x^2+x^2+4x+4=2x^2+4x+4
[/mm]
[mm] x^2+8x+4 \not=2x^2+4x+4
[/mm]
[mm] Also:f\circ(g+h)\not=(f\circ\ g)+(f\circ\ [/mm] h)
Wäre nett, wenn das jemand kontrolliert, und falls Fehler vorhanden sind, mir sagt an welcher Stelle.
Danke
MFG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Fr 25.11.2005 | | Autor: | felixf |
Moin moin,
> kann mir vielleicht jemand freundlicherweise sagen ob
> folgende Aufgaben so korrekt gelöst sind?
>
> a) Man zeige:
> [mm](f+g)\circ\ h=(f\circ\ h)+(g\circ\[/mm] h)
ich nehm mal an, dass h : A --> B und f, g : B --> C Abbildungen sind, wobei C eine Gruppenstruktur bzgl. + hat.
> Meine Lösung: [mm](f+g)\circ\ h=(((f+g)\circ\[/mm] h)(x))
> [mm]=((f+g)(h(x)))=(f(h(x))+g(h(x)))=(f\circ\ h)+(g\circ\[/mm] h)
Also die Idee ist richtig, als Tutor wuerde ich dir dafuer aber Punkte abziehen weil du es nicht gut aufgeschrieben hast  [mm](f + g) \circ h[/mm] ist eine Funktion A --> C und [mm]((f+g)\circ h)(x)[/mm] ist ein Element in C. Damit koennen die beiden schonmal nicht gleich sein.
Schreib es doch so auf:
> Fuer alle [mm]x \in A[/mm] gilt [mm](((f+g)\circ h)(x)) = ((f+g)(h(x)))=(f(h(x))+g(h(x)))=((f\circ\ h)+(g\circ h))(x)[/mm], womit [mm](f + g) \circ h = (f \circ h) + (g \circ h)[/mm] ist.
> b) Gilt auch stets:
> [mm]f\circ(g+h)=(f\circ\ g)+(f\circ\[/mm] h) ?
> Meine Lösung:
> Beh.: Es gilt nicht stets.
> Bew.: Seien Funktionen [mm]f(x)=x^2;[/mm] g(x)=x; h(x)=x+2 gegeben
> mit [mm]x\in\IN.[/mm]
Also [mm]f, g, h : \IN \to \IN[/mm]?
> Dann ist [mm]f\circ(g+h)=f\circ(2x+2)=(2x+2)^2=x^2+8x+4[/mm]
Wieder das selbe wie oben :)
> Und [mm](f\circ\ g)+(f\circ\ h)=x^2+(x+2)^2=x^2+x^2+4x+4=2x^2+4x+4[/mm]
>
> [mm]x^2+8x+4 \not=2x^2+4x+4[/mm]
In [mm] \IN [/mm] gibt es x fuer die das nicht gilt, ja.
> [mm]Also:f\circ(g+h)\not=(f\circ\ g)+(f\circ h)[/mm]
>
> Wäre nett, wenn das jemand kontrolliert, und falls Fehler
> vorhanden sind, mir sagt an welcher Stelle.
HTH,
Felix
|
|
|
|
