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Komplexes Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Sa 19.05.2012
Autor: satzvonwiejehtdat

Aufgabe
In der Gauschen Zahlenebene ist der Punkt

w = [mm] 1+i*\wurzel{3} [/mm]

vorgegeben. Weiterhin ist durch

P(z) = [mm] z^{3}-w [/mm]

ein komplexes Polynom de finiert.

a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von P(z) und skizzieren Sie das Ergebnis in
der Gauschen Zahlenebene.

b)Welche Teilmengen von [mm] \IC [/mm] sind durch  |z| = 2 sowie  |z - z1|= |z - z2|
(z1; z2 sind die Nullstellen von P(z)) definiert? Geben Sie die Schnittmenge
dieser beiden Teilmengen an.

Hallo zusammen,

kann mir jemand bei angegebener Aufgabe weiterhelfen?

Die a) bekomme ich noch hin. Einfach die Moivr'sche Formel anwenden, 3 komplexe Nullstellen herausbekommen.

z0 = [mm] \wurzel[3]{2}*(cos(20°)+i*sin(20°)) [/mm]
z1 = [mm] \wurzel[3]{2}*(cos(140°)+i*sin(140°)) [/mm]
z2 = [mm] \wurzel[3]{2}*(cos(260°)+i*sin(260°)) [/mm]

Bei der b) bin ich ratlos.. Also laut Lösung eines Kommilitionen kommt ein Kreis raus der seinen Mittelpunkt bei 0,94 und 0,34i hat (Radius 2), die beiden komplexen Zahlen sind im 2. und 3. Sektor, die Lösungsmenge ist also das was von Kreis und den beiden [mm] \IC [/mm] Zahlen eingeschlossen wird.. nur wie? Da müsste doch dann eine Ungleichung herauskommen.

Ich hatte mir überlegt ob es mit der Dreiecksungleichung zu tun hat...

Jemand eine Idee?

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.




        
Bezug
Komplexes Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Sa 19.05.2012
Autor: MathePower

Hallo  satzvonwiejehtdat,

> In der Gauschen Zahlenebene ist der Punkt
>  
> w = [mm]1+i*\wurzel{3}[/mm]
>  
> vorgegeben. Weiterhin ist durch
>  
> P(z) = [mm]z^{3}-w[/mm]
>  
> ein komplexes Polynom de finiert.
>  
> a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von P(z) und skizzieren
> Sie das Ergebnis in
>  der Gauschen Zahlenebene.
>  
> b)Welche Teilmengen von [mm]\IC[/mm] sind durch  |z| = 2 sowie  |z -
> z1|= |z - z2|
>  (z1; z2 sind die Nullstellen von P(z)) definiert? Geben
> Sie die Schnittmenge
>  dieser beiden Teilmengen an.
>  Hallo zusammen,
>  
> kann mir jemand bei angegebener Aufgabe weiterhelfen?
>  
> Die a) bekomme ich noch hin. Einfach die Moivr'sche Formel
> anwenden, 3 komplexe Nullstellen herausbekommen.
>  
> z0 = [mm]\wurzel[3]{2}*(cos(20°)+i*sin(20°))[/mm]
>  z1 = [mm]\wurzel[3]{2}*(cos(140°)+i*sin(140°))[/mm]
>  z2 = [mm]\wurzel[3]{2}*(cos(260°)+i*sin(260°))[/mm]
>  


[ok]


> Bei der b) bin ich ratlos.. Also laut Lösung eines
> Kommilitionen kommt ein Kreis raus der seinen Mittelpunkt
> bei 0,94 und 0,34i hat (Radius 2), die beiden komplexen
> Zahlen sind im 2. und 3. Sektor, die Lösungsmenge ist also
> das was von Kreis und den beiden [mm]\IC[/mm] Zahlen eingeschlossen
> wird.. nur wie? Da müsste doch dann eine Ungleichung
> herauskommen.

>


Überlege Dir ob diese Lösung des Kommolitonen richtig sein kann.

Ein Punkt z, der von [mm]z_{1}[/mm]  den gleichen Abstand hat,
wie von [mm]z_{2}[/mm] ist z.B.der Mittelpunkt von [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm]


> Ich hatte mir überlegt ob es mit der Dreiecksungleichung
> zu tun hat...
>  
> Jemand eine Idee?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  


Gruss
MathePower

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