Komplexes Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale:
a) [mm] \integral_{C}^{}{\bruch{dz}{z^2-4}} [/mm] , wobei C der mathematisch positiv orientierte Kreis |z-2|=2 sei. |
Tach Leute
Ich hab für obige Aufgabe zwei verschiedene Ansätze, von denen mindestens einer nicht stimmen kann...
Zunächst will ich folgende Parametrisierung der Kurve C benutzen: [mm] z(t)=2e^{it}+2 [/mm] mit [mm] t\in [0,2\pi].
[/mm]
1. Ansatz:
[mm] \integral_{C}^{}{\bruch{dz}{z^2-4}}=\integral_{C}^{}{\bruch{dz}{(z+2)(z-2)}}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2ie^{it}}{(2e^{it}+4)2e^{it}}dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i}{(2e^{it}+4)}dt}=\ldots
[/mm]
2. Ansatz:
[mm] \integral_{C}^{}{\bruch{dz}{z^2-4}}=\bruch{1}{4}\integral_{C}^{}{\bruch{1}{z-2}-\bruch{1}{z+2}dz}=\bruch{1}{4}\integral_{C}^{}{\bruch{1}{z-2}dz}-\bruch{1}{4}\integral_{C}^{}{\bruch{1}{z+2}dz}=
[/mm]
nach Integralsatz von Cauchy:
[mm] =\bruch{1}{4}\integral_{C}^{}{\bruch{1}{z-2}dz}=\bruch{1}{4}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2ie^{it}}{2e^{it}}dt}=\bruch{1}{4}\integral_{0}^{2\pi}{i dt}=\ldots
[/mm]
Irgendwie stimmt das alles nicht so wirklich, hab ich das Gefühl. Ich wäre dankbar, wenn mir einer nen Tipp geben kann.
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Da die zu integrierende Funktion im Inneren des Kreises (Skizze?) eine Polstelle hat, lautet der Tipp: ![[]](/images/popup.gif) Residuensatz.
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Also dass die Funktion im Inneren der Kreisscheibe eine Polstelle hat, ist mir klar. Mit dem Residuensatz kann ich jetzt wenig anfangen. Ich bin der Meinung, das Kurvenintegral muss sich auch ohne Kenntnis von diesem berechnen lassen. Wie schauts mit meinen beiden Ansätzen aus? Komm ich da weiter oder wieso sind sie falsch?
Vielen Dank für weitere Antworten.
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Also, wenn ich das im Kopf richtig überschlagen habe, dann kommst du mit dem Residuensatz auf das gleiche Ergebnis wie in deinem 2ten Ansatz...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Di 20.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:06 Di 20.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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