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| Aufgabe | Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt hat? |
Hallo,
ich muss am Anfang erstmal sagen, dass ich in der 12. Klasse bin, wir dieses Thema aber selbst bisher nicht durchgenommen haben. Ich mache die 12 zum zweiten Mal, habe aufgrund einer Fehlwahl dieses Jahr freiwillig wiederholt. Kenne den Stoff im Prinzip zwar von vorigem Jahr, sogar aus dem Mathe-LK (bin jetzt in einem GK), aber bei mir ist echt nix hängengeblieben.
Ich versuche da nur zur Zeit wieder reinzukommen, weil meine Freundin (auch Klasse 12 GK) das momentan hat und nicht wirklich klarkommt. Mit Hilfe des Buches hab ich es zwar einigermaßen geschafft, da wieder reinzukommen aber momentan bin ich mir nicht sicher, ob ich das auch richtig mache.
Folgende Schritte hab ich bisher. Würde gerne wissen, ob der Ansatz stimmt.
1. Hauptbedingung:
[mm] A = a*b + \pi*\bruch{b²}{4} [/mm]
2. Nebenbedingung:
[mm] U=2a+b+\pi*\bruch{b}{2}[/mm]
Umgestellt nach a.
[mm] a= \bruch{U}{2}-\bruch{b}{2}-\bruch{\pi}{2}*\bruch{b}{4} [/mm]
Stimmt das soweit?!
Bisher habe ich dann noch versucht, die Zielfunktion aufzustellen.
3. Zielfunktion:
[mm] A=\bruch{Ub}{2}-\bruch{b²}{2}-\bruch{\pi*b}{2}*\bruch{b²}{4}+\pi*\bruch{b}{2} [/mm]
Jetzt weiß ich allerdings nicht weiter.
Hinweise, ob das überhaupt stimmt und eventuelle Ansätze, wie man die Zielfunktion vereinfachen könnte (vorausgesetzt sie stimmt), wären sehr hilfreich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im voraus.
Marcel
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> 1. Hauptbedingung:
>
> [mm]A = a*b + \pi*\bruch{b²}{4}[/mm]
Wenn ich das richtig verstehe ist das nur ein Rechteck mit Einem Halbkreis
[mm] A(Halbkreis)=\bruch{\pi*r^{2}}{2}=\bruch{\pi*b^{2}}{8}
[/mm]
also ist A:
A = a*b + [mm] \pi*\bruch{b²}{8}
[/mm]
>
> 2. Nebenbedingung:
>
> [mm]U=2a+b+\pi*\bruch{b}{2}[/mm]
> Umgestellt nach a.
>
> [mm]a= \bruch{U}{2}-\bruch{b}{2}-\bruch{\pi}{2}*\bruch{b}{4}[/mm]
>
bei dem letzten Term hast du einmal zu oft durch 2 geteilt! also
a= [mm] \bruch{U}{2}-\bruch{b}{2}-\bruch{\pi}{2}*\bruch{b}{2}
[/mm]
Die Zielfunktion sieiht dementsprechend auch anders aus:
[mm] A(b)=\bruch{Ub}{2}-\bruch{b²}{2}-\bruch{\pi}{2}*\bruch{b²}{2}+\pi*\bruch{b^{2}}{8}
[/mm]
Außerdem hast du nochmal den gleiche Fehler gemacht du musst wenn du Ein Produkt multiplitzierst den Faktor nur einmal mal nehmen!
Um die maximale Fläche zu berechnen musst du Ableiten und Null setzten:
A´(b) [mm] =\bruch{U}{2}-b-\pi*\bruch{b}{2}+\pi*\bruch{b}{4}=0
[/mm]
mal2:
[mm] U-2b-\pi*b+\bruch{\pi*b}{2}=0
[/mm]
[mm] 2b+\pi*b-\bruch{\pi*b}{2}=U
[/mm]
[mm] b(2+\pi-\bruch{\pi}{2})=U
[/mm]
[mm] b(2+\bruch{\pi}{2})=U
[/mm]
[mm] b_{max}=\bruch{U}{(2+\bruch{\pi}{2})}
[/mm]
daruas kannst du dann a berecchnen!
Lg Marcel
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Hallo Marcel,
> Wenn ich das richtig
> verstehe ist das nur ein Rechteck mit Einem Halbkreis
> [mm]A(Halbkreis)=\bruch{\pi*r^{2}}{2}=\bruch{\pi*b^{2}}{8}[/mm]
> also ist A:
> A = a*b + [mm]\pi*\bruch{b²}{8}[/mm]
Du hast Recht. Hab ich ganz übersehen. Danke!
Werde die dann nochmal durchrechnen.
Schönen Abend noch.
Gruß,
Marcel
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