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| Aufgabe | | Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse 6 cm erzeugt bei Rotation um eine Kathete (um die Hypothenuse) den Rotationskörper größten Volumens? |
Hallo,
Mein Ansatz ist:
[mm] V_{Kreiskegel}=\bruch{\pi*r^2h}{3}
[/mm]
Das war's auch schon!
Danke für schnelle Hilfe!
Gruß,
Stefan.
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Hallo Stefan,
Hier zunächst die Lösung für die Rotation um die Kathete(n):
Also nach dem Satz des Pythagoras lauten die beiden Katheten
[mm] a = \wurzel{36-b^2}, b = \wurzel{36-a^2} [/mm]
Eine davon dient als Höhe und die andere als Radius des Kreiskegels (welche man als was einsetzt, ist egal) und das kann man in die Volumenformel einsetzen:
[mm] V = \bruch{\pi * (\wurzel{36-h^2})^2 * \wurzel{36-r^2}}{3} = \bruch{\pi * (36-h^2)*h}{3} = 12\pi h - \bruch{\pi}{3} h^3 [/mm]
Dies ist jetzt die Größe, die maximiert werden muss, also bilden wir die erste Ableitung:
[mm] V' = 12 \pi - \pi h^2 [/mm]
Setzt man diese Null, erhält man als Lösung
[mm] h = 2 \wurzel{3} [/mm]
Und wiederum nach dem Satz des Pythagoras muss dann die Kathete, für den Radius [mm] 2 \wurzel{6} [/mm] sein.
Nun zu der Aufgabe, dass das Dreieck um die Hypothenuse rotieren soll: Dabei entstehen dann zwei Kreiskegel, sodass wir die Höhe über der Hypothenuse h und die Hypothenusenabschnitte p ("unter" a) und q ("unter" b) benötigen. Nach dem Kathetensatz gilt
[mm] a^2 = cp, b^2 = cq [/mm], also in unserem Fall
[mm] 36 - b^2 = 6p, 36 - a^2 = 6q [/mm].
Formt man dies um, erhält man
[mm] p = \bruch{1}{6} a^2, q = 6 - \bruch{1}{6} a^2 [/mm].
Und h kann man über den Höhensatz [mm] h^2 = pq [/mm] so berechnen:
[mm] h = \wurzel{pq} = \wurzel{a^2- \bruch{1}{36} a^4 [/mm]
Die Volumenformel des Rotationskörpers setzt sich nun aus den 2 Kegeln zusammen. Beide haben den Radius h und als Höhe p bzw. q. Also lautet die Volumenformel
[mm] V = \bruch{\pi}{3} (a^2-\bruch{1}{36}a^4)(6-\bruch{1}{6}a^2+\bruch{1}{6} a^2) = \bruch{\pi}{2} (a^2-\bruch{1}{36} a^4) [/mm]
Die erste Ableitung davon lautet
[mm] V' = \bruch{\pi}{2}(2a-\bruch{1}{9}a^3) [/mm]
und bei Nullsetzen erhält man
[mm] a = 3 \wurzel{2} [/mm].
Nach dem Satz des Pythagoras muss dann auch die zweite Kathete, b, gleich [mm] 3 \wurzel{2} [/mm] sein.
Mit freundlichen Grüßen
Manuela
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