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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 23.03.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Zeigen sie:
[mm] |e^{ix}|=1 [/mm] mit [mm] x\in\IR [/mm] |
Hallo,
das ist wahrscheinlich eine ganz einfache Aufgabe. Im Skript steht, der Nachweis geht durch eine kleine Rechnung (die aber nicht angegeben ist). Es soll nicht die Umschreibung in Sinus und Kosinus (Polarkoordinaten) verwendet werden, da das so erst hergeleitet wird. Es ist also zu zeigen, dass [mm] e^{ix} [/mm] auf dem Einheitskreis liegt.
Mein Ansatz:
[mm] e^{ix}=\left(e^i\right)^x. [/mm] Damit reicht es zu zeigen, dass [mm] |e^i|=1.
[/mm]
Aber wie stell ich das am besten an?
Die Funktionalgleichung und die Reihendarstellung der Exponentialfunktion haben mich nicht weitergebracht.
Vielen Dank für eure Hilfe.
mfg, pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Zeigen sie:
> [mm]|e^{ix}|=1[/mm] mit [mm]x\in\IR[/mm]
> Hallo,
>
> das ist wahrscheinlich eine ganz einfache Aufgabe. Im
> Skript steht, der Nachweis geht durch eine kleine Rechnung
> (die aber nicht angegeben ist). Es soll nicht die
> Umschreibung in Sinus und Kosinus (Polarkoordinaten)
> verwendet werden, da das so erst hergeleitet wird. Es ist
> also zu zeigen, dass [mm]e^{ix}[/mm] auf dem Einheitskreis liegt.
Verwende, dass das komplex Konjugierte [mm] $\overline{e^{ix}}=e^{-ix}$ [/mm] ist. Dann musst du nur noch wissen, wie damit der Betrag einer komplexen Zahl berechnet wird.
Ich hoffe das dürft ihr verwenden.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 23.03.2011 | | Autor: | pyw |
> Nabend,
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> > Zeigen sie:
> > [mm]|e^{ix}|=1[/mm] mit [mm]x\in\IR[/mm]
> > Hallo,
> >
> > das ist wahrscheinlich eine ganz einfache Aufgabe. Im
> > Skript steht, der Nachweis geht durch eine kleine Rechnung
> > (die aber nicht angegeben ist). Es soll nicht die
> > Umschreibung in Sinus und Kosinus (Polarkoordinaten)
> > verwendet werden, da das so erst hergeleitet wird. Es ist
> > also zu zeigen, dass [mm]e^{ix}[/mm] auf dem Einheitskreis liegt.
>
> Verwende, dass das komplex Konjugierte
> [mm]\overline{e^{ix}}=e^{-ix}[/mm] ist. Dann musst du nur noch
> wissen, wie damit der Betrag einer komplexen Zahl berechnet
> wird.
> Ich hoffe das dürft ihr verwenden.
Ok danke.
Dann wäre insbesondere [mm] \overline{e^{i}}=e^{-i}.
[/mm]
Beide haben den gleichen Betrag (da komplex konjugiert). Außerdem ist [mm] e^i*\overline{e^{i}}=e^{i}*e^{-i}=e. [/mm] Dann wäre doch folglich [mm] |e^{i}|*|e^{-i}|=|e^{i}*e^{-i}|=|e|=e [/mm] und da [mm] |e^{i}|=|e^{-i}|=|\overline{e^{i}}| [/mm] folgt [mm] |e^i|=\sqrt{e}.
[/mm]
Ich will aber zeigen, dass da 1 rauskommst. Wo ist der Fehler? Danke!
>
> LG Lippel
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Dann wäre insbesondere [mm]\overline{e^{i}}=e^{-i}.[/mm]
> Beide haben den gleichen Betrag (da komplex konjugiert).
> Außerdem ist [mm]e^i*\overline{e^{i}}=e^{i}*e^{-i}=e.[/mm]
Das stimmt nicht: [mm]e^i*\overline{e^{i}}=e^{i}*e^{-i}=e^{i-i}=e^0=1[/mm]
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mi 23.03.2011 | | Autor: | pyw |
> Hallo,
>
> > Dann wäre insbesondere [mm]\overline{e^{i}}=e^{-i}.[/mm]
> > Beide haben den gleichen Betrag (da komplex
> konjugiert).
> > Außerdem ist [mm]e^i*\overline{e^{i}}=e^{i}*e^{-i}=e.[/mm]
>
> Das stimmt nicht:
> [mm]e^i*\overline{e^{i}}=e^{i}*e^{-i}=e^{i-i}=e^0=1[/mm]
Dankeschön.
So klein fand ich die Rechnung trotzdem nicht 
Wer weiß vielleicht hat der Prof am Ende doch was anderes gemeint, aber Hauptsache ich habs verstanden.
>
> LG Lippel
>
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:22 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Kleine Rechnung: mit [mm] $z:=e^{ix}$ [/mm] ist
[mm] $1=e^{ix-ix}= e^{ix}*e^{-ix}=z* \bar z=|z|^2$.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Do 24.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mein Ansatz:
> [mm]e^{ix}=\left(e^i\right)^x.[/mm]
Wieso sollte das gelten? Und was soll [mm] $y^x$ [/mm] mit $y [mm] \in \IC$, [/mm] $x [mm] \in \IR$ [/mm] ueberhaupt sein?
Du musst schon direkt mit [mm] $e^{ix} [/mm] = [mm] \exp(ix)$ [/mm] rechnen, wie die anderen das hier im Thread schon geschrieben haben.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Di 26.04.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> Moin!
>
> > Mein Ansatz:
> > [mm]e^{ix}=\left(e^i\right)^x.[/mm]
>
> Wieso sollte das gelten? Und was soll [mm]y^x[/mm] mit [mm]y \in \IC[/mm], [mm]x \in \IR[/mm] ueberhaupt sein?
Ich dachte, auch im komplexen gelten die Potenzgesetze.
>
> Du musst schon direkt mit [mm]e^{ix} = \exp(ix)[/mm] rechnen, wie
> die anderen das hier im Thread schon geschrieben haben.
Danke ja, das habe ich nun begriffen.
>
> LG Felix
>
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Di 26.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Mein Ansatz:
> > > [mm]e^{ix}=\left(e^i\right)^x.[/mm]
> >
> > Wieso sollte das gelten? Und was soll [mm]y^x[/mm] mit [mm]y \in \IC[/mm], [mm]x \in \IR[/mm]
> > ueberhaupt sein?
>
> Ich dachte, auch im komplexen gelten die Potenzgesetze.
das tun sie nicht ganz, bzw. es wird kompliziert. Zum Beispiel waere sonst $-1 = [mm] e^{\pi i} [/mm] = [mm] (e^{2 \pi i})^{1/2} [/mm] = [mm] 1^{1/2} [/mm] = 1$.
Das Problem ist hier: ausser fuer Exponenten aus [mm] $\IZ$ [/mm] ist nicht klar, was [mm] $x^y$ [/mm] ueberhaupt sein soll. Normalerweise definiert man es ja als [mm] $x^y [/mm] := [mm] \exp(y \log [/mm] x)$. Allerdings ist [mm] $\log$ [/mm] nicht eindeutig definiert, und diese Uneindeutigkeit sorgt dafuer, dass [mm] $x^y$ [/mm] ebenfalls nicht eindeutig ist. Es ist [mm] $\log [/mm] 1$ eben nicht nur 0, sondern auch $2 [mm] \pi [/mm] i$, $4 [mm] \pi [/mm] i$, $6 [mm] \pi [/mm] i$, ..., $- 2 [mm] \pi [/mm] i$, $-4 [mm] \pi [/mm] i$, ... Und damit ist [mm] $1^{1/2}$ [/mm] eben auch [mm] $\exp(2 \pi [/mm] i/2) = [mm] \exp(\pi [/mm] i) = -1$, [mm] $\exp(4 \pi [/mm] i/2) = [mm] \exp(2 \pi [/mm] i) = 1$, ..., womit [mm] $1^{1/2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ ist, also zwei Werte hat.
Bei der Anwendung der "Potenzgesetze" kann es aber nun wie oben passieren, dass etwas eindeutiges uneindeutig wird: aus $-1 = [mm] e^{\pi i}$ [/mm] wird [mm] $\pm [/mm] 1 = [mm] 1^{1/2}$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mi 04.05.2011 | | Autor: | pyw |
danke!
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