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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Di 26.11.2013 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Wir betrachten die komplexe Zahlenfolge [mm] (z_n)_{n\in \mathbb N} [/mm] mit
[mm] z_n := \frac{4n^2+2n-(-1)^{n+1}}{8n^2-9n+2}+\frac{2+4+6+...+2n}{1+8+27+...+n^3}*n^2*i [/mm]
a) Zeigen Sie bitte, dass zu gegebenen [mm] \epsilon >0 [/mm] ein [mm] n_0 = n_0(\epsilon) \in \mathbb N [/mm] existiert, sodass der Abstand von [mm] z_n [/mm] zur komplexen Zahl [mm] z=1/2 + 4i [/mm] kleiner als [mm] \epsilon >0 [/mm] ist. |
Hallo liebe Community, mein Ansatz wäre:
Ich splitte den Real- und den Imaginärteil auf und schätze beide einzeln ab.
Das mache ich, da wir in der Vorlesung bereits bewiesen haben, dass:
[mm] |z_n -z|<\epsilon [/mm] ist Äquivalent zu [mm] |Re(z_n)-Re(z)|<\epsilon [/mm] und [mm] Im(z_n)-Im(z)|<\epsilon [/mm].
Also 1. Der Realteil:
Schon ein wenig aufgelöst:
[mm] |\frac{4n^2+2n+(-1)^n }{8n^2-9n+2}-\frac{1}{2}|<\epsilon \Leftrightarrow | \frac{(-1)^n}{8n^2-9n+2}+\frac{2n}{8n^2-9n+2}+\frac{4n^2}{8n^2-9n+2}-\frac{1}{2}| < \epsilon [/mm]
Nun löse ich [mm] \frac{4n^2}{8n^2-9n+2} [/mm] weiter auf:
[mm] \frac{4n^2 }{8n^2-9n+2} \Rightarrow \frac{4n^2}{8n^2-9n+2}-\frac {1}{2}+\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{9n-2}{2(8n^2-9n+2)}+\frac{1}{2} [/mm]
Das Setzte ich ein und löse weiter auf:
[mm] |\frac{(-1)^n}{8n^2-9n+2}+\frac{2n}{8n^2-9n+2}+\frac{9n-2}{8n^2-9n+2}|<\epsilon [/mm]
Wenn ich nun:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{(-1)^n}{8n^2-9n+2}+\frac{2n}{8n^2-9n+2}+\frac{9n-2}{8n^2-9n+2} = 0 [/mm] Also eine Nullfolge, und da jede Nullfolge irgendwann kleiner wird als jedes fest gewähltes Epsilon, ist die Abschätzung für den Realteil bewiesen. (Kann ich das so sagen?)
Nun 2. der Imaginärteil
[mm] | \frac{}{} * n^2 -4 | < \epsilon \Leftrightarrow |2n^2* \frac{\summe_{i=1}^{n} i}{\summe_{i=1}^{n} i^3} -4| < \epsilon
\Leftrightarrow | n^2 * (\frac{2n(n+1)}{n^2(n+1)^2 }) -4 | < \epsilon
\Leftrightarrow | \frac{4n}{n+1} -4 | < \epsilon [/mm]
Jetzt habe ich durch + 4 -4 erweitert und bin schließlich wieder auf folgende Nullfolge gekommen:
[mm] | - \frac{4}{n+1} | < \epsilon [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -\frac{4}{n+1} = 0 [/mm] Also eine Nullfolge. Somit kann ich wie oben argumentieren, dass es irgendwann ein n gibt sodass der Imaginärteil kleiner als ein fest gewähltes Epsilon ist.
und somit: [mm] | z_n -z | < \epsilon [/mm] gilt.
Wäre das so richtig?
Mit freundlichen Grüßen
Boastii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Di 26.11.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Boastii!
> Wir betrachten die komplexe Zahlenfolge [mm](z_n)_{n\in \mathbb N}[/mm]
> mit
> [mm]z_n := \frac{4n^2+2n-(-1)^{n+1}}{8n^2-9n+2}+\frac{2+4+6+...+2n}{1+8+27+...+n^3}*n^2*i [/mm]
>
> a) Zeigen Sie bitte, dass zu gegebenen [mm]\epsilon >0[/mm] ein [mm]n_0 = n_0(\epsilon) \in \mathbb N[/mm]
> existiert, sodass der Abstand von [mm]z_n[/mm] zur komplexen Zahl
> [mm]z=1/2 + 4i[/mm] kleiner als [mm]\epsilon >0[/mm] ist.
Ich finde es ja schön, wie höflich der Aufgabensteller hier formuliert 
> Hallo liebe Community, mein Ansatz wäre:
>
> Ich splitte den Real- und den Imaginärteil auf und
> schätze beide einzeln ab.
> Das mache ich, da wir in der Vorlesung bereits bewiesen
> haben, dass:
>
> [mm]|z_n -z|<\epsilon[/mm] ist Äquivalent zu
> [mm]|Re(z_n)-Re(z)|<\epsilon[/mm] und [mm]Im(z_n)-Im(z)|<\epsilon [/mm].
>
> Also 1. Der Realteil:
> Schon ein wenig aufgelöst:
>
> [mm]|\frac{4n^2+2n+(-1)^n }{8n^2-9n+2}-\frac{1}{2}|<\epsilon \Leftrightarrow | \frac{(-1)^n}{8n^2-9n+2}+\frac{2n}{8n^2-9n+2}+\frac{4n^2}{8n^2-9n+2}-\frac{1}{2}| < \epsilon [/mm]
>
>
> Nun löse ich [mm]\frac{4n^2}{8n^2-9n+2}[/mm] weiter auf:
> [mm]\frac{4n^2 }{8n^2-9n+2} \Rightarrow \frac{4n^2}{8n^2-9n+2}-\frac {1}{2}+\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{9n-2}{2(8n^2-9n+2)}+\frac{1}{2}[/mm]
Die Pfeile sind an dieser Stelle wenig sinnvoll. Verwende lieber Gleichheitszeichen.
> Das Setzte ich ein und löse weiter auf:
>
> [mm]|\frac{(-1)^n}{8n^2-9n+2}+\frac{2n}{8n^2-9n+2}+\frac{9n-2}{8n^2-9n+2}|<\epsilon[/mm]
>
>
> Wenn ich nun:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{(-1)^n}{8n^2-9n+2}+\frac{2n}{8n^2-9n+2}+\frac{9n-2}{8n^2-9n+2} = 0[/mm]
> Also eine Nullfolge, und da jede Nullfolge irgendwann
> kleiner wird als jedes fest gewähltes Epsilon, ist die
> Abschätzung für den Realteil bewiesen. (Kann ich das so
> sagen?)
Das kannst du so sagen. Mir persönlich würde da aber noch ein Argument fehlen, warum dieser Grenzwert Null ist. Benutze etwa einen Grenzwertsatz nachdem du noch ein wenig umgeformt hast (mit [mm] n^2 [/mm] kürzen).
> Nun 2. der Imaginärteil
>
> [mm]| \frac{}{} * n^2 -4 | < \epsilon \Leftrightarrow |2n^2* \frac{\summe_{i=1}^{n} i}{\summe_{i=1}^{n} i^3} -4| < \epsilon
\Leftrightarrow | n^2 * (\frac{2n(n+1)}{n^2(n+1)^2 }) -4 | < \epsilon
\Leftrightarrow | \frac{4n}{n+1} -4 | < \epsilon [/mm]
>
> Jetzt habe ich durch + 4 -4 erweitert
Was das heißen soll, verstehe ich zwar nicht, aber ich sehe, dass du alles auf den Hauptnenner n+1 gebracht hast.
> und bin schließlich
> wieder auf folgende Nullfolge gekommen:
>
> [mm]| - \frac{4}{n+1} | < \epsilon[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} -\frac{4}{n+1} = 0[/mm]
> Also eine Nullfolge. Somit kann ich wie oben argumentieren,
> dass es irgendwann ein n gibt sodass der Imaginärteil
> kleiner als ein fest gewähltes Epsilon ist.
>
> und somit: [mm]| z_n -z | < \epsilon[/mm] gilt.
>
> Wäre das so richtig?
Mit den kleinen Einschränkungen oben: ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Lieben Gruß,
Fulla
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