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Komplexe Zahlen Menge: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 So 10.01.2021
Autor: YorkNw

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo, wir haben folgende Frage gestellt bekommen und ich stehe momentan ziemlich auf dem Schlau bzw. weiß nicht wie und was ich rechnen soll...

Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von C in der Gauß’schen Zahlenebene:

a) M1 := { z ∈ C | 􏰅􏰅Im [mm] (􏰁z^2) [/mm] 􏰂≤ 2 } 􏰅
b) M2 := { z ∈ C \ {0} | 􏰅Re (1:z) =1 }
􏰊􏰅􏰋
Hinweis: Ein Kreis um den Mittelpunkt (a, b) mit Radius r kann in der Ebene des R2 mit der Gleichung [mm] (x−a)^2 [/mm] + [mm] (y−b)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] beschrieben werden.

Danke im Voraus!!! :)

        
Bezug
Komplexe Zahlen Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 So 10.01.2021
Autor: statler

Auch hallo, welcome to the club!

In Koordinatenform ist ja z = a + bi, damit kann man [mm] z^2 [/mm] (1:z) ausrechnen und [mm] Im(z^2) [/mm] (Re(1:z)) bestimmen. Die Ungleichung (Gleichung) gibt dann eine Bedingung an a und b, und das kann man in der Gaußschen Zahlenebene visualisieren. Soviel zur allgemeinen Herangehensweise.

Was deine komischen Symbole im Text bedeuten, erschließt sich mir nicht.

Gruß Dieter

Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahlen Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Mo 11.01.2021
Autor: fred97


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo, wir haben folgende Frage gestellt bekommen und ich
> stehe momentan ziemlich auf dem Schlau bzw. weiß nicht wie
> und was ich rechnen soll...
>  
> Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von C in der
> Gauß’schen Zahlenebene:
>  
> a) M1 := [mm]{z∈C|􏰅􏰅Im(􏰁z^2)􏰂≤2}[/mm] 􏰅


Das lautet wohl so:

[mm] M_1=\{z \in \IC: Im(z^2) \le 2\}.$ [/mm]


>  b) M2 := [mm]{z∈C\{0}|􏰅Re (1:z) =1}[/mm]

Und das so:

[mm] M_2=\{z \in \IC: Re(1/z) =1\}.$ [/mm]


>  􏰊􏰅􏰋
>  Hinweis: Ein Kreis um den Mittelpunkt (a, b) mit Radius r
> kann in der Ebene des R2 mit der Gleichung [mm](x−a)^2 +(y−b)^2 =r^2[/mm]

Auch da ist etwas schief gegangen: korrekt: [mm] (x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2 [/mm]


> beschrieben werden.
>  
> Danke im Voraus!!! :)


Im Folgenden sei stets $z=x+iy$ mit $x,y [mm] \in \IR.$ [/mm]

Zu [mm] M_1: [/mm] Es ist [mm] z^2=x^2-y^2+2ixy, [/mm] also [mm] Im(z^2) [/mm] =2xy.

Damit:

    [mm] $Im(z^2) \le [/mm] 2 [mm] \gdw [/mm] xy [mm] \le [/mm] 1.$

Kommst Du damit weiter ?

Zu [mm] M_2: [/mm]  Es ist $1/z= [mm] \frac{\overline{z}}{z \overline{z}}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}$, [/mm] also

    $Re(1/z)= [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] =1 [mm] \gdw x^2+y^2-x=0.$ [/mm]

Jetzt Du.


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