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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 So 03.10.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | | Gibt es ein z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] z^4=i [/mm] |
Hallo ich brauche einen Tipp zur Lösung solcher Aufgaben...
Ist die Lösung also "Ja" oder "nein",...wie untersucht man das?
z=a+bi
danke für eure Hilfe
ATDT
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Hallo ATDT,
im Prinzip hast Du schon den richtigen Ansatz. Du kannst Dich dabei auf [mm] a,b\ge{0} [/mm] beschränken, wenn Du mal überlegst, was Dir die Moivre-Formel in diesem Fall über die Lage etwaiger Lösungen in den Quadranten der Zahlenebene sagt.
Vielleicht ist es aber einfacher, wenn Du erst mal prüfst, ob es denn ein z gibt mit [mm] z^2=i [/mm] ...
Grüße
reverend
PS: Ach ja, und die Antwort entstammt tatsächlich der Menge [mm] \{"Ja","Nein"\}. [/mm] 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 03.10.2010 | | Autor: | ATDT |
Hallo reverend,
hmm wenn ich [mm] z^2=i [/mm] betrachte und anfange zu rechen erhalte ich: [mm] (a+bi)(a+bi)=a^2+2abi-b^2
[/mm]
Aber was bringt mir das?
ich habe die Rechenregeln für komplexe Zahlen berücksichtigt... also i*i=-1
ich habe mir die Moivre formel mal angesehen, aber wüsste jetzt nicht wie ich das auf diese Aufgabe anwenden soll.
Weiss leider nicht was ich machen muss :( please help.
Das ist eine Multiple-choice aufgabe... die würde ich gerne schnell ankreuzen können, wenn soetwas ähnliches kommt.
atdt
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Hallo nochmal,
> hmm wenn ich [mm]z^2=i[/mm] betrachte und anfange zu rechen erhalte
> ich: [mm](a+bi)(a+bi)=a^2+2abi-b^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber was bringt mir das?
Koeffizientenvergleich: [mm] a^2-b^2=0 [/mm] und 2ab=1
Es gibt also, wie zu erwarten, zwei Lösungen. Wenn Du aus denen wieder die Wurzel ziehst, bist Du ja bei der vierten Wurzel.
> ich habe die Rechenregeln für komplexe Zahlen
> berücksichtigt... also i*i=-1
>
> ich habe mir die Moivre formel mal angesehen, aber wüsste
> jetzt nicht wie ich das auf diese Aufgabe anwenden soll.
In jedem Quadranten liegt eine Lösung (falls sie nicht gerade gen Norden, Süden, Osten, Westen auf den Achsen liegen).
> Weiss leider nicht was ich machen muss :( please help.
> Das ist eine Multiple-choice aufgabe... die würde ich
> gerne schnell ankreuzen können, wenn soetwas ähnliches
> kommt.
Igitt. Das soll man im Kopf überschlagen können?
Sind denn wenigstens einige der Lösungen völlig unsinnig?
Das wäre z.B. der Fall, wenn der Betrag [mm] \not=1 [/mm] ist.
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 03.10.2010 | | Autor: | ATDT |
Hallo reverend,
danke für deine Antworten.
> Koeffizientenvergleich: [mm]a^2-b^2=0[/mm] und 2ab=1
>
Hast du das "i" absichtlich weggelassen?
ok also um zur Lösung der Aufgabe zu kommen ziehe ich also nochmal die Wurzel. Dann erhalten ich nur noch eine Lösung und zwar [mm] \wurzel{1}=1. [/mm] Ok und was nun? Gibt es nun ein [mm] z^4=i? [/mm] wo ist die Verbindung unserer ausgerechneten "1" zu dieser Gleichung?
> Es gibt also, wie zu erwarten, zwei Lösungen. Wenn Du aus
> denen wieder die Wurzel ziehst, bist Du ja bei der vierten
> Wurzel.
>
> > ich habe die Rechenregeln für komplexe Zahlen
> > berücksichtigt... also i*i=-1
> >
> > ich habe mir die Moivre formel mal angesehen, aber wüsste
> > jetzt nicht wie ich das auf diese Aufgabe anwenden soll.
>
> In jedem Quadranten liegt eine Lösung (falls sie nicht
> gerade gen Norden, Süden, Osten, Westen auf den Achsen
> liegen).
ok das muss ich mir noch genauer anschauen...
>
> > Weiss leider nicht was ich machen muss :( please help.
> > Das ist eine Multiple-choice aufgabe... die würde ich
> > gerne schnell ankreuzen können, wenn soetwas ähnliches
> > kommt.
>
> Igitt. Das soll man im Kopf überschlagen können?
Ja, genau so steht es da. Es gibt keine Lösungsvorschläge. Nur "ja" oder "nein" ankreuzen.
>
> Sind denn wenigstens einige der Lösungen völlig
> unsinnig?
> Das wäre z.B. der Fall, wenn der Betrag [mm]\not=1[/mm] ist.
Nein, kein tipp...
>
> Grüße
> rev
>
LG ATDT
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> Gibt es ein z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]z^4=i[/mm]
hallo
anderer ansatz wäre, dass du das polynom p(z) = [mm] z^4-i [/mm] betrachtest, welches laut fundamentalsatz der algebra genau 4 nullstellen hat (vielfachheit beachten, x²=0 hat dementsprechend die nullstellen [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=0), [/mm] also es mindestens eine zahl z [mm] \in \IC [/mm] gibt, die [mm] z^4=i [/mm] erfüllt :)
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie das? Du hast doch nun ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
