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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 08.02.2010 | | Autor: | jan_333 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] (z-a)^{n}=b [/mm] mit [mm] z,a,b\in\IC, n\in\IN [/mm] für komplexe Zahlen a,b mit [mm] b=r*e^{i\varphi} [/mm] von den Zahlen
[mm] z_{0}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i\bruch{\varphi}{n}}
[/mm]
[mm] z_{1}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i(\bruch{\varphi}{n}+1*\bruch{2\pi}{n})}
[/mm]
[mm] z_{2}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i(\bruch{\varphi}{n}+2*\bruch{2\pi}{n})}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] z_{n-2}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i(\bruch{\varphi}{n}+(n-2)*\bruch{2\pi}{n})}
[/mm]
[mm] z_{n-1}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i(\bruch{\varphi}{n}+(n-1)*\bruch{2\pi}{n})}
[/mm]
gelöst wird.
Begründen Sie, dass diese n Zahlen alle Lösungen der Gleichung sind. |
Hallo,
ich muss diese Aufgabe hier machen, weiß aber nicht wie ich vorgehen soll oder was überhaupt gefordert ist. Ich konnte bisher bei komplexen Zahlen nur Sachen wie Real- und Imaginärteil, Polarkoordinaten und Exponentialform bestimmen. Aber mit dieser Aufgabe kann ich nix anfangen.
Bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Mo 08.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Du musst zeigen, dass die [mm] $z_i$ [/mm] für alle [mm] $0\le [/mm] i<n$ die Gleichung [mm] $(z_i-a)^n=b$ [/mm] erfüllen. Desweiteren sollst du zeigen, dass es keine weiteren Lösungen geben kann.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 08.02.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die Antwort!
Ich weiß aber nicht, wie ich da vorgehen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für die Antwort!
>
> Ich weiß aber nicht, wie ich da vorgehen muss.
Um zu zeigen, dass die [mm] $z_i$ [/mm] die Gleichung erfuellen? Einsetzen und ausrechnen! Du brauchst Rechenregeln fuer Wurzeln und die $e$-Funktion.
Leg doch mal los und schau wie weit du kommst. Wenn du nicht weiterkommst schreib hierher was du gemacht hast und wo genau du festhaengst.
LG Felix
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