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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
[mm]|z+i| - |z+2| = 0[/mm]
und beschreiben Sie die Gestalt der Lösungsmenge in der komplexen Ebene. |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung:
[mm]\frac{(3-i)z}{\overline{z}}-3i = z-1[/mm] |
| Aufgabe 3 | Bestimmen Sie alle [mm]z \in \C[/mm], die folgende Gleichung lösen:
[mm]z\cdot{}\overline{z}+(3-4i)z+(3+4i)\overline{z}+9=0[/mm]
Beschreiben Sie die Gestalt der Lösungsmenge in der komplexen Ebene. |
| Aufgabe 4 | Besteimmen Sie Betrag und Argument aller [mm]z \in \C[/mm], die im 2 Quadranten liegen und folgende Gleichung lösen:
[mm]z^5=-243i[/mm] |
| Aufgabe 5 | Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil aller komplexen Zahlen [mm]z[/mm] mit
[mm]z^2+z = 17\cdot{}\overline{z}[/mm] |
Hi Leute,
mir ist bewusst das es viele Aufgaben sind die eigentlich mehrere Threads benötigt hätten. Aber ich glaube das wäre genauso unübersichtlich geworden, da ich zu gewissen Aufgaben auch einfach nur ein "Ok - Stimmt" benötige.
Aufgabe 1:
[mm]\begin{matrix}
|z+i| -|z+2| = 0\ &=& 0 \\
\wurzel{x^2 +(y+1)^2} & =& \wurzel{(x+2)^2 +y^2} \\
x^2 +(y+1)^2 & =& (x+2)^2 +y^2 \\
x^2 +y^2 +2y + 1 &=& x^2 +4x +4 + y^2 \\
2y &=& 4x +3 \\
y &=& 2x + \frac{3}{2}
\end{matrix}[/mm]
Also eine Gerade mit der Steigung 2?
Aufgabe 2:
[mm]\begin{matrix}
\frac{(3-i)z}{\overline{z}}-3i &=& z-1 \\
(3-i)z-3i\cdot{}\overline{z} &=& z\cdot{}\overline{z}-i\cdot{}\overline{z} \\
3x+3iy-iy+y-3ix-3y &=& x^2 +y^2 -ix-y \\
3x-1y-x^2-y^2+3iy-2ix &=& 0
\end{matrix}[/mm]
Und nun? Was mich stört sind die [mm]-x^2-y^2[/mm], wären diese nicht da, würde ich ein Lineares Gleichungsystem mit einmal Real und Imanigärteil basteln, irgendwie überfordern mit diese [mm]x^2[/mm]
Aufgabe 3:
[mm]\begin{matrix}
z\cdot{}\overline{z}+(3-4i)z+(3+4i)\overline{z}+9 &=& 0 \\
(x+iy)(x-iy)+(3-4i)(x+iy)+(3+4i)(x-iy)+9 &=& 0 \\
x^2+y^2+3x+3iy-4ix+4y+3x-3iy+4ix+4y+9 &=& 0 \\
x^2+y^2+3x+9 &=& 0 \\
y^2 &=& -x^2-3x-9 \\
y &=& \wurzel{-x^2-3x-9}
\end{matrix}[/mm]
Ich glaube nicht dass das richtig ist. Wo habe ich mich da vertan?
Aufgabe 4:
Diese Art von Aufgaben kann ich eigentlich immer lösen und genau das macht mir Sorgen. Mir geht es jetzt hauptsächlich dadrum, ob ich diese Lösungsgerecht aufgeschrieben habe. Also eher ob das Prinzip stimmt.
[mm]z^5=-243i[/mm]
[mm]Arg(z^5) = -\frac{1}{2}\pi[/mm]
[mm]|(z^5)| = 243[/mm]
[mm] 5\alpha=-\frac{1}{2}\pi+k2\pi[/mm]
[mm]\alpha_0 = -\frac{\frac{1}{2}\pi}{5} = -\frac{1}{10}\pi[/mm] [mm]\alpha_1 = -\frac{\frac{1}{2}\pi+2\pi}{5} = \frac{3}{10}\pi[/mm] [mm]\alpha_2 = -\frac{\frac{1}{2}\pi+4\pi}{5} = \frac{7}{10}\pi[/mm] [mm]\alpha_3 = -\frac{\frac{1}{2}\pi+6\pi}{5} = \frac{11}{10}\pi[/mm] [mm]\alpha_4 = -\frac{\frac{1}{2}\pi+6\pi}{5} = \frac{3}{2}\pi[/mm]
Für den 2 Quadranten kommt nur [mm]\alpha_2 = \frac{7}{10}\pi[/mm] in Frage.
[mm]z = 243\cdot{}\left(\cos(\frac{7}{10}\pi)+i\sin(\frac{7}{10}\pi)\right) = -142,83 + 196,6i[/mm]
[mm]Arg(z) = \frac{7}{10}\pi[/mm]
[mm]|z| = 243[/mm]
Stimmt die Lösung/Vorgehensweise so?
Aufgabe 5:
[mm]\begin{matrix}
z^2+z &=& 17\cdot{}\overline{z} \\
x^2+xiy+xiy-y+x+iy &=& 17x-17iy\\
x^2-16x-y-+2xiy-16iy&=&0
\end{matrix}[/mm]
Und wieder überfordert mich [mm]x^2[/mm] ... . Wie muss ich hier vorgehen?
Wünsche euch ein schönes Wochenende.
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Hallo Lyrone,
zuerst mal ein Lob für die sehr schöne und klare
Darstellungsweise. Die lädt wirklich ein, sich mit
den Fragen zu befassen.
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
[mm]|z+i| - |z+2| = 0[/mm]
und beschreiben Sie die Gestalt der Lösungsmenge in der komplexen Ebene. |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung:
[mm]\frac{(3-i)z}{\overline{z}}-3i = z-1[/mm] |
| Aufgabe 3 | Bestimmen Sie alle [mm]z \in \C[/mm], die folgende Gleichung lösen:
[mm]z\cdot{}\overline{z}+(3-4i)z+(3+4i)\overline{z}+9=0[/mm]
Beschreiben Sie die Gestalt der Lösungsmenge in der komplexen Ebene. |
| Aufgabe 4 | Besteimmen Sie Betrag und Argument aller [mm]z \in \C[/mm], die im 2 Quadranten liegen und folgende Gleichung lösen:
[mm]z^5=-243i[/mm] |
| Aufgabe 5 | Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil aller komplexen Zahlen [mm]z[/mm] mit
[mm]z^2+z = 17\cdot{}\overline{z}[/mm] |
> Hi Leute,
>
> mir ist bewusst das es viele Aufgaben sind die eigentlich
> mehrere Threads benötigt hätten. Aber ich glaube das wäre
> genauso unübersichtlich geworden, da ich zu gewissen
> Aufgaben auch einfach nur ein "Ok - Stimmt" benötige.
>
>
> Aufgabe 1:
>
> [mm]\begin{matrix}
|z+i| -|z+2| = 0\ &=& 0 \\
\wurzel{x^2 +(y+1)^2} & =& \wurzel{(x+2)^2 +y^2} \\
x^2 +(y+1)^2 & =& (x+2)^2 +y^2 \\
x^2 +y^2 +2y + 1 &=& x^2 +4x +4 + y^2 \\
2y &=& 4x +3 \\
y &=& 2x + \frac{3}{2}
\end{matrix}[/mm]
>
> Also eine Gerade mit der Steigung 2?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") korrekt !
> Aufgabe 2:
>
> [mm]\begin{matrix}
\frac{(3-i)z}{\overline{z}}-3i &=& z-1 \\
(3-i)z-3i\cdot{}\overline{z} &=& z\cdot{}\overline{z}-i\cdot{}\overline{z} \\
3x+3iy-iy+y-3ix-3y &=& x^2 +y^2 -ix-y \\
3x-1y-x^2-y^2+3iy-2ix &=& 0
\end{matrix}[/mm]
>
> Und nun? Was mich stört sind die [mm]-x^2-y^2[/mm], wären diese
> nicht da, würde ich ein Lineares Gleichungsystem mit einmal
> Real und Imanigärteil basteln, irgendwie überfordern mit
> diese [mm]x^2[/mm]
>
>
> Aufgabe 3:
>
> [mm]\begin{matrix}
z\cdot{}\overline{z}+(3-4i)z+(3+4i)\overline{z}+9 &=& 0 \\
(x+iy)(x-iy)+(3-4i)(x+iy)+(3+4i)(x-iy)+9 &=& 0 \\
x^2+y^2+3x+3iy-4ix+4y+3x-3iy+4ix+4y+9 &=& 0 \\
x^2+y^2+3x+9 &=& 0 \\
y^2 &=& -x^2-3x-9 \\
y &=& \wurzel{-x^2-3x-9}
\end{matrix}[/mm]
>
> Ich glaube nicht dass das richtig ist. Wo habe ich mich da
> vertan?
>
>
> Aufgabe 4:
>
> Diese Art von Aufgaben kann ich eigentlich immer lösen und
> genau das macht mir Sorgen. Mir geht es jetzt hauptsächlich
> dadrum, ob ich diese Lösungsgerecht aufgeschrieben habe.
> Also eher ob das Prinzip stimmt.
>
> [mm]z^5=-243i[/mm]
>
> [mm]Arg(z^5) = -\frac{1}{2}\pi[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]|(z^5)| = 243[/mm]
>
> [mm]5\alpha=-\frac{1}{2}\pi+k2\pi[/mm]
>
> [mm]\alpha_0 = -\frac{\frac{1}{2}\pi}{5} = -\frac{1}{10}\pi[/mm]
> [mm]\alpha_1 = \red{-}\frac{\frac{1}{2}\pi+2\pi}{5} = \frac{3}{10}\pi[/mm]
> [mm]\alpha_2 = \red{-}\frac{\frac{1}{2}\pi+4\pi}{5} = \frac{7}{10}\pi[/mm]
> [mm]\alpha_3 = \red{-}\frac{\frac{1}{2}\pi+6\pi}{5} = \frac{11}{10}\pi[/mm]
> [mm]\alpha_4 = \red{-}\frac{\frac{1}{2}\pi+6\pi}{5} = \frac{3}{2}\pi[/mm]
Die Winkel stimmen zwar, aber die Minuszeichen
sollten nicht vor dem Bruchstrich, sondern vor
dem ersten Summanden des Zählers stehen !
> Für den 2 Quadranten kommt nur [mm]\alpha_2 = \frac{7}{10}\pi[/mm]
> in Frage.
>
> [mm]z = 243\cdot{}\left(\cos(\frac{7}{10}\pi)+i\sin(\frac{7}{10}\pi)\right) = -142,83 + 196,6i[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Leider falsch !
> [mm]Arg(z) = \frac{7}{10}\pi[/mm]
>
> [mm]|z| = 243[/mm]
richtig wäre: [mm]|z| = \wurzel[5]{243}=3[/mm]
> Aufgabe 5:
>
> [mm]\begin{matrix}
z^2+z &=& 17\cdot{}\overline{z} \\
x^2+xiy+xiy-y+x+iy &=& 17x-17iy\\
x^2-16x-y-+2xiy-16iy&=&0
\end{matrix}[/mm]
>
> Und wieder überfordert mich [mm]x^2[/mm] ... . Wie muss ich hier
> vorgehen?
Sofern die Rechnung soweit stimmt:
Separiere Realteile und Imaginärteile. Dann
hast du zwei Gleichungen für x und y !
Ebenfalls schönes Wochenende !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hi Al-Chwarizmi danke für deine Unterstützung.
>
> Die Winkel stimmen zwar, aber die Minuszeichen
> sollten nicht vor dem Bruchstrich, sondern vor
> dem ersten Summanden des Zählers stehen !
>
Stimmt, habe da gepennt ... .
> >
> > [mm]z = 243\cdot{}\left(\cos(\frac{7}{10}\pi)+i\sin(\frac{7}{10}\pi)\right) = -142,83 + 196,6i[/mm]
>
>
Ich habe mir das Thema nochmal durchgelesen und habe meinen Fehler erkannt.
[mm]z = \wurzel[5]{243}\cdot{}\left(\cos(\frac{7}{10}\pi)+i\sin(\frac{7}{10}\pi)\right) = -1,75 + 2,4i[/mm]
> Sofern die Rechnung soweit stimmt:
>
> Separiere Realteile und Imaginärteile. Dann
> hast du zwei Gleichungen für x und y !
Ok, versuche deinen Rat umzusetzen:
[mm]
\begin{matrix} z^2+z &=& 17\cdot{}\overline{z} \\
x^2+xiy+xiy-y+x+iy &=& 17x-17iy
\end{matrix}[/mm]
[mm]\begin{matrix}
2xy+y&=&-17y \\
2x &=& -18 \\
x &=& -9
\end{matrix}[/mm]
[mm]\begin{matrix}
(-9)^2-y-9 &=& 17\cdot{}(-9) \\
72-y &=& -153 \\
y &=& 225
\end{matrix}[/mm]
Also [mm]Re(z) = -9[/mm] und [mm]Im(z) = 225[/mm] ?
> Ebenfalls schönes Wochenende !
Danke dir.
Stimmt nun so alles?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Nun stimmt es (fast) ... ich habe beim Realteil einen leicht anderen Wert mit $-1.763355757... \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] -1.7\red{6}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 So 25.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar.
> Nun stimmt es (fast) ... ich habe beim Realteil einen
> leicht anderen Wert mit [mm]-1.763355757... \ \approx \ -1.7\red{6}[/mm]
Ja, hast recht, ich auch. Keine Ahnung warum ich abgerundet habe..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
> [mm]
\begin{matrix} z^2+z &=& 17\cdot{}\overline{z} \\
x^2+xiy+xiy-y+x+iy &=& 17x-17iy
\end{matrix}[/mm]
Der Term auf der linken Seite muss [mm] $-y^{\red{2}}$ [/mm] heißen.
> [mm]\begin{matrix}
2xy+y&=&-17y \\
2x &=& -18 \\
x &=& -9
\end{matrix}[/mm]
Du musst hier noch den Fall $y \ = \ 0$ gesondert untersuchen. Schließlich darfst Du nicht "einfach so" durch $y_$ dividieren.
> [mm]\begin{matrix}
(-9)^2-y-9 &=& 17\cdot{}(-9) \\
72-y &=& -153 \\
y &=& 225
\end{matrix}[/mm]
Folgefehler von oben mit dem Quadrat.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 25.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar,
> > [mm]\begin{matrix}
2xy+y&=&-17y \\
2x &=& -18 \\
x &=& -9
\end{matrix}[/mm]
>
> Du musst hier noch den Fall [mm]y \ = \ 0[/mm] gesondert
> untersuchen. Schließlich darfst Du nicht "einfach so" durch
> [mm]y_[/mm] dividieren.
Ach so, ich musste lange überlegen was du meintest. Aber wie genau soll ich das untersuchen? Kann ich nicht einfach [mm]y\not=0[/mm] schreiben?
[mm]\begin{matrix}
(-9)^2-y^2-9 &=& 17\cdot{}(-9) \\
72-y^2 &=& -153 \\
y^2 &=& 225 \\
y &=& 15
\end{matrix}[/mm]
Danke für den Hinweis mit dem [mm]y^2[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
> Kann ich nicht einfach [mm]y\not=0[/mm] schreiben?
Dann könnten Dir eventuell Lösungen verloren gehen.
Setze also $y \ = \ 0$ in die Ausgangsgleichung ein.
Gruß
Loddar
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Hallo Lyrone,
hier der Rest:
> Aufgabe 2:
>
> [mm]\begin{matrix}
\frac{(3-i)z}{\overline{z}}-3i &=& z-1 \\
(3-i)z-3i\cdot{}\overline{z} &=& z\cdot{}\overline{z}-i\cdot{}\overline{z} \\
3x+3iy-i\red{x}+y-3ix-3y &=& x^2 +y^2 -ix-y \\
3x-y-x^2-y^2+3iy-\red{3}ix &=& 0
\end{matrix}[/mm]
>
> Und nun? Was mich stört sind die [mm]-x^2-y^2[/mm], wären diese
> nicht da, würde ich ein Lineares Gleichungsystem mit einmal
> Real und Imanigärteil basteln, irgendwie überfordern mit
> diese [mm]x^2[/mm]
Cool bleiben.
Schau Dir mal den Imaginärteil an: 3iy-3ix=0. Es folgt y=x
Realteil, einsetzen: [mm] 3x-x-x^2-x^2=-2x^2+2x=0\Rightarrow [/mm] x(x-1)=0
Möglichkeit 1, x=y=0 scheidet aus (schau mal in die Aufgabenstellung...).
Bleibt x=y=1.
Probe machen...
> Aufgabe 3:
>
> [mm] \begin{matrix}
z\cdot{}\overline{z}+(3-4i)z+(3+4i)\overline{z}+9 &=& 0 \\
(x+iy)(x-iy)+(3-4i)(x+iy)+(3+4i)(x-iy)+9 &=& 0 \\
x^2+y^2+3x+3iy-4ix+4y+3x-3iy+4ix+4y+9 &=& 0 \\
x^2+y^2+\red{6}x\red{+8y}+9 &=& 0 \end{matrix}
[/mm]
> Ich glaube nicht dass das richtig ist. Wo habe ich mich da
> vertan?
Rot korrigiert. Ab hier weiter, nur wenig umgeformt:
[mm] (x+3)^2+(y+4)^2=16
[/mm]
Das muss man ja nicht weiter auflösen. Es gibt, äh, viele Lösungen. Welchen geometrischen Ort haben sie in der komplexen Zahlenebene?
Liebe Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hi reverend.
> Cool bleiben.
> Schau Dir mal den Imaginärteil an: 3iy-3ix=0. Es folgt
> y=x
>
> Realteil, einsetzen: [mm]3x-x-x^2-x^2=-2x^2+2x=0\Rightarrow[/mm]
> x(x-1)=0
>
> Möglichkeit 1, x=y=0 scheidet aus (schau mal in die
> Aufgabenstellung...).
> Bleibt x=y=1.
> Probe machen...
Ich habe es nicht gesehen, ich war so auf dieses [mm]x^2[/mm] fixiert das ich irgendwie total blockiert war. Danke für die Hilfe.
> [mm](x+3)^2+(y+4)^2=16[/mm]
>
> Das muss man ja nicht weiter auflösen. Es gibt, äh, viele
> Lösungen. Welchen geometrischen Ort haben sie in der
> komplexen Zahlenebene?
>
Die Lösung ist ein Kreis in allgemeiner Lage mit dem Radius 4. Ich muss echt noch bissel üben mit dem Auflösen der Gleichungen. Dabei habe ich es vorher nochmal durchgerechnet. Auch hier ein Danke an dich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Sa 24.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Lyrone,
> > [mm](x+3)^2+(y+4)^2=16[/mm]
> >
> > Das muss man ja nicht weiter auflösen. Es gibt, äh, viele
> > Lösungen. Welchen geometrischen Ort haben sie in der
> > komplexen Zahlenebene?
> >
> Die Lösung ist ein Kreis in allgemeiner Lage mit dem Radius 4.
Ähem. Die "allgemeine Lage" lässt sich noch deutlich genauer beschreiben. Der Mittelpunkt liegt bei -3-4i. Alle [mm] z\in\IC [/mm] mit der Eigenschaft |z+3+4i|=4 lösen die Gleichung.
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 So 25.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hi reverend,
danke für deine Mitteilung. Ich war mir mit dem Mittelpunkt unsicher, daher wollte ich nicht wieder was falsches schreiben, denn es wäre sogar falsch gewesen :).
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