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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:29 Di 24.06.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hallo Paar kleine Fragen zu einigen Umformungen mit komplexen Zahlen. Und zwar war die Aufgabe:
Die Funktion [mm] f:\IC \to \IC [/mm] sei gegeben durch [mm] f(z)=1-e^{\overline{z}}. [/mm] Beweisen Sie, dass es zwei Nullumgebungen [mm] U,V\subset \IC [/mm] gibt, so dass die Gleichung f(z)=k für jedes [mm] k\in [/mm] V eine eindeutige Lösung [mm] z\in [/mm] U besitzt.
So an einer Stelle versteh ich deren Umformung nicht, und zwar:
[mm] f(z)=1-e^xe^{-iy}=(1-e^xcosy,e^xsinx)
[/mm]
So das erst = ist klar, aber wie kommen die von dem auf (1-e^xcosy,e^xsinx), das versteh ich noch nicht so.
Und bei einer anderen Aufgabe sollten wir folgendes zeigen:
[mm] \bruch{e^{|Imz|}-1}{2}\le|cos(z)|\le\bruch{e^{|Imz|}+1}{2}
[/mm]
So dann sagen sie: Mit [mm] |cos(z)|=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2} [/mm] und [mm] |e^z|=e^{Rez} [/mm] haben wir...
so wie kommen die hier auf [mm] |cos(z)|=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2}? [/mm] oder ist das eine feste formel???
Dann vielleicht nochmal eine ganz andere Frage, die gar nicht zu diesem Thema passt. Was ist der Unterschied zu dem Satz über impliziete Funktionen und dem Satz über die Inverse? die stehen ja irgendwie in Beziehung, versteh aber gerade den Unterschied nicht.
Danke für Hilfe.
Gruß
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Hat hier echt keiner eine Erlärung parat? Bei der zweiten Frage habe ich mittlerweile herausbekommen, dass das eine feste Formel ist, die unser Prof. auch in anderen beweisen oft benutzt hat, will aber gerne wissen, wie das mit meiner ersten frage so ist.
danke für hilfe.
gruß
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Hallo Steve,
da wird die komplexe Zahl $f(z)$ als Tupel (Realteil(f(z)),Imaginärteil(f(z))) geschrieben:
[mm] $f(z)=1-e^xe^{-iy}=1-e^x\cdot{}\left[\underbrace{\cos(-y)+i\cdot{}\sin(-y)}_{=e^{-iy}}\right]$
[/mm]
Dann ausmultiplizieren, nach Real- und Imaginärteil ordnen und als Tupel schreiben und bedenken, dass [mm] $\cos$ [/mm] gerade ist, also [mm] $\cos(-y)=\cos(y)$ [/mm] und [mm] $\sin$ [/mm] ungerade ist, also ...
LG
schachuzipus
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vielen dank für den tipp. damit hats echt geklappt 
mal noch ne andere frage: habe folgendes integral:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{e^{i(m-n)t} dt}=[\bruch{e^{i(m-n)t}}{i(m-n)}] [/mm] in den gegebenen grenzen, dann folgt:
[mm] [\bruch{e^{i(m-n)t}}{i(m-n)}] =\bruch{e^{i(m-n)*2*\pi} - e^{i(m-n)*0}}{i(m-n)}=\bruch{e^{i(m-n)*2*\pi} - 1}{i(m-n)} [/mm] so als ergebnis kommt hier 0 raus, d.h. ja, dass [mm] e^{i(m-n)*2*\pi} [/mm] =1 sein muss. Aber wir rechnet man das, bzw. wie begründet man das?
danke für hilfe
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Steve,
das begründet man durch die Euler'sche Darstellung einer komplexen Zahl:
[mm] e^{i*\varphi}=cos(\varphi)+i*sin(\varphi)
[/mm]
und dabei ist jedes [mm] k*\varphi=(m-n)*\varphi [/mm] im cos gleich 1 und jedes [mm] k*\varphi=(m-n)*\varphi [/mm] im sin gleich 0 - sofern [mm] \varphi=2\pi [/mm] sein sollte - fertig 
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Fr 27.06.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, vielen dank
gruß
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Hi. Nochmal ne frage zu komplexen Zahlen.
Aufgabe. Charakteriseire geometrisch folgende Teilmenge von [mm] \IC [/mm] M=(z [mm] \in \IC, [/mm] |z+3|+|z-3|=10)
So jetzt haben die gesagt, wir müssen das zeichnen. Außerdem haben die als Lösung für die Schnittpunkte mir den Koordinatenachsen [mm] \pm [/mm] 5 [mm] \pm [/mm] 4.
So die [mm] \pm [/mm] 5 kriege ich auch raus, ist ja nur fallunterscheidung bei den Betragsstrichen. Aber ich weiß nicht, wie die auf die [mm] \pm [/mm] 4. Kann da vielleicht wer weiterhelfen?
danke
Gruß
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Hi,
Na betrachte doch mal die Gleichung mit z = iy
Also die Zahlen, die keinen Realteil haben (das ist dann nämlich der Schnittpunkt auf der Imaginärachse)....
MfG,
Gono
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hi, ist das si richtig |yi+3|+|yi-3|=10 [mm] \gdw \wurzel{y^2 +9}+\wurzel{y^2+9}=10 \gdw [/mm] y+3+y+3=10 [mm] \Rightarrow [/mm] y=2.
hmm irgendwas ist doch hier falsch. da muss ja 4 raus kommen.
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[mm] \wurzel{y^2 +9}+\wurzel{y^2+9}=10 \gdw y+3+y+3=10[/mm]
Na guck dir die Umformung nochmal scharf an, sowas darf nicht passieren
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hmm, habe gerade brett vom kopf, ist das [mm] \wurzel{y^2 +9}+\wurzel{y^2+9} [/mm] schon falsch? habe doch nur den betrag umgewandelt, hmm....
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Nein, nur was ist denn [mm] \sqrt{x} [/mm] + [mm] \sqrt{x} [/mm] ?
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versteh den fehler immer noch nicht. [mm] \sqrt{x}+\sqrt{x}=2*\sqrt{x} [/mm] bringt aber auch nicht viel.
[mm] \wurzel{y^2 +9}+\wurzel{y^2+9}=2*\wurzel{y^2+9}=2*(y+3)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaruleking!
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Es gilt im Allgemeinen:
[mm] $$\wurzel{a^2+b^2} [/mm] \ \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ \ a+b$$
Gruß
Loddar
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wie forme ich denn [mm] \wurzel{y^2 +9}+\wurzel{y^2+9}=10 [/mm] sonst um, auf auf [mm] y=\pm [/mm] 4 zu kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Steve,
du hast: [mm] 2*\wurzel{y^2+9}=10
[/mm]
1. durch 2 teilen
2. quadrieren (Achtung: keine Äquivalenzumformung)
3. 9 auf beiden Seiten subtrahieren
4. Wurzel ziehen
5. schon wieder fertig
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Fr 27.06.2008 | | Autor: | jaruleking |
ach du sch...., wie dumm kann man eigentlich manchmal sein. unglaublich.
danke und gruß
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