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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | z sei eine komplexe Zahl mit |z| = [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] arg(z)=\bruch{\pi}{20}
[/mm]
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von [mm] z^{15} [/mm] |
Hallo!
Bin ein wenig am rumrätseln bei dieser Aufgabe
Bisher hab ich folgendes gemacht:
[mm] z=\wurzel{2}(cos(\bruch{\pi}{20})+jsin(\bruch{\pi}{20}))
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (durch Moivresche Formel)
[mm] z^{15}=(\wurzel{2})^{15}(cos(\bruch{15\pi}{20})+jsin(\bruch{15\pi}{20}))
[/mm]
(durch Moivresche Formel)
[mm] (\wurzel{2})^{15} =128*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \bruch{15\pi}{20} [/mm] = [mm] \bruch{3\pi}{4}
[/mm]
wären 135°
dann ist x<0 , y>0 und in dem Falle ein gleichschenkeliges Dreieck für die Berechnung von x und y
dann ist a=b, [mm] a^{2}+b^{2}=c^{2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
nach umstellen a=128, also b=128
[mm] \gdw
[/mm]
z=-128+j128
[mm] \gdw
[/mm]
Re(z)= -128, Im(z)=128
ist das so richtig? Falls nein, bitte mit Erklärungen dazu. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tequila!
> dann ist x<0 , y>0 und in dem Falle ein gleichschenkeliges
> Dreieck für die Berechnung von x und y
> dann ist a=b, [mm]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> nach umstellen a=128, also b=128
Dieser Schritt erschließt sich mir gerade nicht so ganz, denn Du bräuchtest doch nur einsetzen:
[mm] $z^{15} [/mm] \ = \ [mm] 128*\wurzel{2}*\left(-\bruch{1}{\wurzel{2}}+i*\bruch{1}{\wurzel{2}}\right) [/mm] \ = \ -128+i*128$
> Re(z)= -128, Im(z)=128
Aber das Ergebnis stimmt ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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