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Hallo,
ich bin gerade dabei mich mit komplexen Zahlen zu beschäftigen. Dazu habe ich mir ein paar Notizen gemacht und wollte euch fragen ob die Formulierungen so korrekt sind...
1. Jede rationale Zahl lässt sich durch einen Bruch mit einem ganzzahligen Nenner und einem ganzzahligem Zähler darstellen. Jede dieser Zahl hat eine periodische Dezimalbruchentwicklung.
2. Die reellen Zahlen sind die Erweiterung der rationalen um die irrationalen Zahlen. Es gibt algebraisch irrationale und transzendent irrationale Zahlen. Die Dezimalbruchentwicklung der irrationalen Zahlen sind immer nichtperiodisch und nicht endlich.
3. Jede algebraische Zahl lässt sich durch die Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen. Darunter sind die algebraisch rationalen und die algebraisch irrationalen Zahlen aber nicht die transzendent irrationalen Zahlen.
4. Nun gibt es Polynomgleichungen mit ganzzahligem Koeffizient die nicht lösbar sind, weil eine Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden soll. Sie sind also im reellen nicht lösbar. So werden die reellen Zahlen um die komplexen Zahlen erweitert damit man sozusagen auch die imaginären Lösungen dieser Polynome findet.
Ist das so alles korrekt formuliert?
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Hallo!
> 1. Jede rationale Zahl lässt sich durch einen Bruch mit
> einem ganzzahligen Nenner und einem ganzzahligem Zähler
> darstellen. Jede dieser Zahl hat eine periodische
> Dezimalbruchentwicklung.
Beispiele:
[mm] \frac{1}{11}=0,09090909090909090......
[/mm]
[mm] \frac{1}{12}=0,08333333333333333.......
[/mm]
[mm] \frac{1}{2}=0,5
[/mm]
Die ersten beiden Fälle haben eine periodische Dezimalbruchentwicklung, wobei auch auffällt, daß die Periode nicht direkt hinter dem Komma anfangen muß.
Den letzten Fall könnte man als periodisch bezeichnen, weil sich gedanklich die 0 wiederholt. Man spricht aber eher von einer endlichen oder abbrechenden Entwicklung.
>
> 2. Die reellen Zahlen sind die Erweiterung der rationalen
> um die irrationalen Zahlen. Es gibt algebraisch irrationale
> und transzendent irrationale Zahlen. Die
> Dezimalbruchentwicklung der irrationalen Zahlen sind immer
> nichtperiodisch und nicht endlich.
Aha, "nichtperiodisch und nicht endlich". Das ist das Gegenteil von "periodisch oder endlich", was du oben hättest schreiben können.
(Die Aussage hier ist richtig)
>
> 3. Jede algebraische Zahl lässt sich durch die Nullstellen
> eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen.
> Darunter sind die algebraisch rationalen und die
> algebraisch irrationalen Zahlen aber nicht die transzendent
> irrationalen Zahlen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 4. Nun gibt es Polynomgleichungen mit ganzzahligem
> Koeffizient die nicht lösbar sind, weil eine Wurzel aus
> einer negativen Zahl gezogen werden soll. Sie sind also im
> reellen nicht lösbar. So werden die reellen Zahlen um die
> komplexen Zahlen erweitert damit man sozusagen auch die
> imaginären Lösungen dieser Polynome findet.
Da ist was wahres dran, aber das bedeutet, daß die komplexen Zahlen eine Erweiterung der algebraischen Zahlen sind. Das ist aber zu wenig, sie sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Im Prinzip kannst du das lösen, indem du jede reelle Zahl als Koeffizient zulässt. Beispielsweise mit der transzendenten Zahl [mm] \pi:
[/mm]
[mm] x^2+\pi=0 \Rightarrow x=\pm i\pi
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Do 18.02.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo!
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> > 1. Jede rationale Zahl lässt sich durch einen Bruch mit
> > einem ganzzahligen Nenner und einem ganzzahligem Zähler
> > darstellen. Jede dieser Zahl hat eine periodische
> > Dezimalbruchentwicklung.
>
> Beispiele:
>
> [mm]\frac{1}{11}=0,09090909090909090......[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{12}=0,08333333333333333.......[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{2}=0,5[/mm]
>
> Die ersten beiden Fälle haben eine periodische
> Dezimalbruchentwicklung, wobei auch auffällt, daß die
> Periode nicht direkt hinter dem Komma anfangen muß.
> Den letzten Fall könnte man als periodisch bezeichnen,
> weil sich gedanklich die 0 wiederholt. Man spricht aber
> eher von einer endlichen oder abbrechenden Entwicklung.
>
>
> >
> > 2. Die reellen Zahlen sind die Erweiterung der rationalen
> > um die irrationalen Zahlen. Es gibt algebraisch irrationale
> > und transzendent irrationale Zahlen. Die
> > Dezimalbruchentwicklung der irrationalen Zahlen sind immer
> > nichtperiodisch und nicht endlich.
>
> Aha, "nichtperiodisch und nicht endlich". Das ist das
> Gegenteil von "periodisch oder endlich", was du oben
> hättest schreiben können.
>
> (Die Aussage hier ist richtig)
>
> >
> > 3. Jede algebraische Zahl lässt sich durch die Nullstellen
> > eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen.
> > Darunter sind die algebraisch rationalen und die
> > algebraisch irrationalen Zahlen aber nicht die transzendent
> > irrationalen Zahlen.
>
>
>
> >
> > 4. Nun gibt es Polynomgleichungen mit ganzzahligem
> > Koeffizient die nicht lösbar sind, weil eine Wurzel aus
> > einer negativen Zahl gezogen werden soll. Sie sind also im
> > reellen nicht lösbar. So werden die reellen Zahlen um die
> > komplexen Zahlen erweitert damit man sozusagen auch die
> > imaginären Lösungen dieser Polynome findet.
>
> Da ist was wahres dran, aber das bedeutet, daß die
> komplexen Zahlen eine Erweiterung der algebraischen Zahlen
> sind. Das ist aber zu wenig, sie sind eine Erweiterung der
> reellen Zahlen. Im Prinzip kannst du das lösen, indem du
> jede reelle Zahl als Koeffizient zulässt. Beispielsweise
> mit der transzendenten Zahl [mm]\pi:[/mm]
>
> [mm]x^2+\pi=0 \Rightarrow x=\pm i\pi[/mm]
>
Kleine Anmerkung: Die Loesung muss natuerlich
[mm] $x=\pm [/mm] i [mm] \sqrt{\pi}$
[/mm]
lauten :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Do 18.02.2016 | | Autor: | sonic5000 |
Ja, da hast Du natürlich Recht... Danke für die genauen Antworten! Das hilft mir sehr weiter...
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