Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Sniphead |
| Aufgabe 1 | | Errechnen Sie alle Lösungen des Ausdrucks [mm] z^4=(-1) [/mm] und geben Sie diese in trigonometrischer Form an. |
| Aufgabe 2 | | Berechnen SIe (2i)^1003 und geben sie das Ergebnis in algebraischen, Trigonometrischen und der Euler-Darstellung an. |
Hallo kann mir jmd bei diesen Aufgaben behilflich sein? ich weiß nicht genau wo ich ansetzen soll. Ich weiß das ich bei der ersten Aufgabe 4 Lsg. zu erwarten habe. Also meine vorgehensweiße wäre:
1. Alles in die Trigonometrische Darstellung zu bringen. jedoch kenn ich den Winkel nicht. Ich denke aber er müsste 0° sein oder?
Bei der zweiten wie soll ich das den bitte rechnen? Wenn ich des rechnen wollte wäre ich doch noch in 3 jahren damit beschäftigt, wo ist der Trick bei der Aufgabe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mi 29.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Errechnen Sie alle Lösungen des Ausdrucks z^=(-1)
Ich vermute, dass oben [mm] z^4=-1 [/mm] steht.
> und
> geben Sie diese in trigonometrischer Form an.
> Berechnen SIe (2i)^1003 und geben sie das Ergebnis in
> algebraischen, Trigonometrischen und der Euler-Darstellung
> an.
> Hallo kann mir jmd bei diesen Aufgaben behilflich sein?
> ich weiß nicht genau wo ich ansetzen soll. Ich weiß das
> ich bei der ersten Aufgabe 4 Lsg. zu erwarten habe. Also
> meine vorgehensweiße wäre:
> 1. Alles in die Trigonometrische Darstellung zu bringen.
> jedoch kenn ich den Winkel nicht. Ich denke aber er müsste
> 0° sein oder?
Das Argument von -1 ist [mm] \pi (=180^o)
[/mm]
Schau da mal rein:
https://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/komplex/wurzel-1.pdf
>
> Bei der zweiten wie soll ich das den bitte rechnen? Wenn
> ich des rechnen wollte wäre ich doch noch in 3 jahren
> damit beschäftigt, wo ist der Trick bei der Aufgabe?
[mm] (2i)^{1003} =2^{1003}*i^{1003}
[/mm]
Es ist [mm] i^4=1, [/mm] also auch [mm] i^{1000}=1. [/mm] Jetzt Du.
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Sniphead |
Also super ich glaub die erste aufgabe hätte ich schon mal! Da kommt wenn ich mich nicht täusche: 1,1i,-1 und -1i raus.
Zur der 2. Aufgabe
Also das heißt ich muss einfach nur [mm] (2i)^3 [/mm] rechnen?! W
eil (2i)^1000 ja 2 ergeben muss oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also super ich glaub die erste aufgabe hätte ich schon
> mal! Da kommt wenn ich mich nicht täusche: 1,1i,-1 und -1i
> raus.
meines Erachtens nach ist [mm] $1^4=1\,,$ $(-1)^4=1\,.$ [/mm] Du kannst sowas doch selbst
kontrollieren - außerdem wäre es sinnvoll, nochmal die Frage zu korrigieren,
also zu sagen, ob Fred mit seiner Vermutung [mm] $z^4=-1$ [/mm] richtig lag...
> Zur der 2. Aufgabe
> Also das heißt ich muss einfach nur [mm](2i)^3[/mm] rechnen?! W
> eil (2i)^1000 ja 2 ergeben muss oder?
Das Potenzgesetz lautet
[mm] $(w*z)^{n}=w^n*z^n\,.$
[/mm]
Demnach ist
[mm] $(2*i)^{1003}=2^{1003}*i^{1003}\,.$
[/mm]
Jetzt gibt es auch noch sowas wie
[mm] $z^{m+n}=z^m*z^n\,.$
[/mm]
Deswegen
[mm] $(2*i)^{1003}=2^{1003}*(i^{1000}*i^3)\,.$
[/mm]
Und [mm] $2^{1003}$ [/mm] sollst Du vermutlich nicht ausrechnen/ausschreiben, sondern
da darf [mm] $2^{1003}$ [/mm] stehen bleiben - oder schreib's als Binärzahl, wenn Du
genug Zeit hast. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Sniphead |
Also die Frage hab ich schon mal korriegiert. Und ja es sollte [mm] z^4=-1 [/mm] heißen. Besser gesagt sollte es z=die vierte wurzel von (-1) heißen. jedoch weiß ich nicht wie man hier die 4wurzel einfügt.
Zurück zu Nummer 2.
Ich weiß aber auch das [mm] I^3 [/mm] =-i ist. also wäre meine Ergebniss 2^1003 *(-i)?
|
|
|
| |
|
Hallo Sniphead, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also die Frage hab ich schon mal korriegiert. Und ja es
> sollte [mm]z^4=-1[/mm] heißen. Besser gesagt sollte es z=die vierte
> wurzel von (-1) heißen. jedoch weiß ich nicht wie man
> hier die 4wurzel einfügt.
Klick mal hierdrauf: [mm] z=\wurzel[4]{-1}
[/mm]
Deine Lösungen stimmten ja noch nicht. Beachte [mm] \wurzel[4]{x}=\wurzel{\wurzel{x}}
[/mm]
Du suchst also [mm] \pm\wurzel{i} [/mm] und [mm] \pm\wurzel{-i}
[/mm]
Mit der Dir vorliegenden Formel sollte das leicht gehen. Es lohnt sich aber auch, mindestens einen dieser Werte auswendig zu wissen, das braucht man immer wieder. Also z.B.
[mm] \wurzel{i}=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i)=\bruch{1+i}{\wurzel{2}}=\bruch{1+i}{|1+i|}
[/mm]
Eine dieser drei Darstellungen können sich die meisten merken. Damit hast Du jetzt aber noch kein vollständiges Ergebnis!
> Zurück zu Nummer 2.
>
> Ich weiß aber auch das [mm]I^3[/mm] =-i ist. also wäre meine
> Ergebniss 2^1003 *(-i)?
Ja, genau. Oder anders geschrieben: [mm] -2^{1003}i
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Sniphead,
>
> > Also die Frage hab ich schon mal korriegiert. Und ja es
> > sollte [mm]z^4=-1[/mm] heißen. Besser gesagt sollte es z=die vierte
> > wurzel von (-1) heißen. jedoch weiß ich nicht wie man
> > hier die 4wurzel einfügt.
>
> Klick mal hierdrauf: [mm]z=\wurzel[4]{-1}[/mm]
>
> Deine Lösungen stimmten ja noch nicht. Beachte
> [mm]\wurzel[4]{x}=\wurzel{\wurzel{x}}[/mm]
>
> Du suchst also [mm]\pm\wurzel{i}[/mm] und [mm]\pm\wurzel{-i}[/mm]
>
> Mit der Dir vorliegenden Formel sollte das leicht gehen. Es
> lohnt sich aber auch, mindestens einen dieser Werte
> auswendig zu wissen, das braucht man immer wieder. Also
> z.B.
>
> [mm]\wurzel{i}=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i)=\bruch{1+i}{\wurzel{2}}=\bruch{1+i}{|1+i|}[/mm]
>
>
> Eine dieser drei Darstellungen können sich die meisten
> merken.
Man kann sich eine leicht herleiten:
Wir wissen
[mm] $e^{i*\pi}=-1\,,$
[/mm]
also
[mm] $(e^{i*\frac{\pi}{4}})^4=-1\,.$
[/mm]
(Vielleicht kann man ja *ähnlich* auf alle Lösungen kommen? Das mal so
als Tipp für Sniphead.)
> Damit hast Du jetzt aber noch kein vollständiges
> Ergebnis!
Wenn man gerne rechnet, kann man auch erstmal den Ansatz
[mm] $(a+i*b)^4=-1$
[/mm]
mit (gesuchten) $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] machen. Dann bekommt man irgendwann ein reelles
Gleichungssystem in den beiden reellen Variablen, dessen Lösungsmenge
die gesuchten (4) komplexen Zahlen charakterisiert.
Gruß,
Marcel
> > Zurück zu Nummer 2.
> >
> > Ich weiß aber auch das [mm]I^3[/mm] =-i ist. also wäre meine
> > Ergebniss 2^1003 *(-i)?
>
> Ja, genau. Oder anders geschrieben: [mm]-2^{1003}i[/mm]
>
> Grüße
> reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Sniphead |
Super ich danke für die Hilfe damit kann ich morgen nochmal alle nachrechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen SIe (2i)^1003 und geben sie das Ergebnis in
> algebraischen, Trigonometrischen und der Euler-Darstellung
> an.
> Hallo kann mir jmd bei diesen Aufgaben behilflich sein?
> ich weiß nicht genau wo ich ansetzen soll. Ich weiß das
> ich bei der ersten Aufgabe 4 Lsg. zu erwarten habe. Also
> meine vorgehensweiße wäre:
> 1. Alles in die Trigonometrische Darstellung zu bringen.
> jedoch kenn ich den Winkel nicht. Ich denke aber er müsste
> 0° sein oder?
>
> Bei der zweiten wie soll ich das den bitte rechnen? Wenn
> ich des rechnen wollte wäre ich doch noch in 3 jahren
> damit beschäftigt, wo ist der Trick bei der Aufgabe?
also 3 Jahre bräuchtest Du sicher nicht. Du hattest aber auf Freds Hinweis
auch selbst kommen können, indem Du Dir mal etwa
[mm] $i^k$ [/mm] für $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$
ausgerechnet hättest - zumal Du [mm] $i^2=-1$ [/mm] weißt.
Und letzteres erklärt dann auch Freds Hinweis (wegen [mm] $i^4=i^{2+2}=i^2*i^2=(-1)*(-1)=(-1)^2=1$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
