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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Do 08.11.2012 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] $\sum _{n=1}^\infty n(n-1)z^n$ [/mm] mit $z [mm] \in \mathbb [/mm] C$. |
Hallo,
diese Aufgabe ist aus einer Vorlesung "Einführung in die Funktionentheorie".
Wenn ich $z=x+iy$ schreibe und den binomischen Lehrsatz anwende, erhalte ich:
[mm] $\sum _{n=1}^\infty n(n-1)z^n [/mm] = [mm] \sum _{n=1}^\infty n(n-1)(x+iy)^n =\sum _{n=1}^\infty [/mm] n(n-1) [mm] \sum _{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k} y^k i^k$.
[/mm]
Die Werte [mm] $i^k$ [/mm] wechseln immer zwischen $i, -1, -i$ und $1$.
Ich habe mit Maple das Ergebnis der Reihe berechnet. Es ist
[mm] $\frac{-2 z^2}{(z-1)^3}$ [/mm] für $z=x+iy$.
Nun würde mich halt ganz stark interessieren, wie man diesen Wert berechnen kann, denn mit dieser Doppelsumme da oben komme ich irgendwie nicht weiter.
Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
Vielen Dank!
Freundliche Grüße
Kevin
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Hallo kevin-m.,
> Berechnen Sie
> [mm]\sum _{n=1}^\infty n(n-1)z^n[/mm] mit [mm]z \in \mathbb C[/mm].
>
> Hallo,
>
> diese Aufgabe ist aus einer Vorlesung "Einführung in die
> Funktionentheorie".
>
> Wenn ich [mm]z=x+iy[/mm] schreibe und den binomischen Lehrsatz
> anwende, erhalte ich:
>
> [mm]\sum _{n=1}^\infty n(n-1)z^n = \sum _{n=1}^\infty n(n-1)(x+iy)^n =\sum _{n=1}^\infty n(n-1) \sum _{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k} y^k i^k[/mm].
>
> Die Werte [mm]i^k[/mm] wechseln immer zwischen [mm]i, -1, -i[/mm] und [mm]1[/mm].
>
> Ich habe mit Maple das Ergebnis der Reihe berechnet. Es ist
>
> [mm]\frac{-2 z^2}{(z-1)^3}[/mm] für [mm]z=x+iy[/mm].
>
> Nun würde mich halt ganz stark interessieren, wie man
> diesen Wert berechnen kann, denn mit dieser Doppelsumme da
> oben komme ich irgendwie nicht weiter.
Für [mm]|z|<1[/mm] ist [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}[/mm], das kennst du sicher - die geometrische Reihe ...
Differenziere auf beiden Seiten zweimal, dann fällt dir sicher etwas auf ...
>
> Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
>
> Vielen Dank!
>
> Freundliche Grüße
Zurück!
>
> Kevin
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Do 08.11.2012 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
vielen Dank für deinen Tipp!
So kann man das in der Tat sehr elegant und kurz lösen 
Viele Grüße
Kevin
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