Komplexe Quadratwurzeln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Es ist zu zeigen, dass es zu jedem [mm] $z\in\IC\setminus(-\infty,0]$ [/mm] genau ein [mm] $w\in\C$ [/mm] gibt mit [mm] $w^2=z$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Re}z>0$. [/mm] Man nennt $w$ den Hauptteil der Wurzelfunktion und schreibt [mm] $\sqrt{z}$.
[/mm]
b) Für [mm] $z\in\IC\setminus(-\infty,0]$ [/mm] gilt [mm] $\sqrt{z}=\sqrt{\dfrac{(|z|+\operatorname{Re}z)}{2}}+i\operatorname{sign}(\operatorname{Im}z)\sqrt{\dfrac{(|z|-\operatorname{Re}z)}{2}}$. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich frage mich mal wieder, ob die Aussage so richtig ist. Für den Realteil der Wurzel habe ich dasselbe erhalten, aber für den Imaginärteil bekomme ich [mm] $\dfrac{Im z}{\sqrt{2(|z|+\operatorname{Re}z)}}$, [/mm] und das scheint mir nicht mit der Angabe in b) übereinzustimmen. Verrechne ich mich, oder ist die Aufgabenstellung falsch, oder stimmen die Lösungen überein, ohne dass ich es sehe?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 So 18.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn auf dein Ergebnis? das ist falsch .
Gruß leduart
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Hallo leduart, ich denke immer noch, dass mein Ergebnis richtig ist, aber es stimmt mit der Lösung der Aufgabe überein.
Sei $z=x+iy$ und $w=a+bi$. Falls $y=0$ gilt, und $x>0$, so folgt $b=0$ und [mm] $a=\sqrt{x}$ [/mm] und das stimmt mit der Lösung in b) überein.
Falls [mm] $y\not=0$ [/mm] gilt, dann müssen auch [mm] $a,b\not=0$ [/mm] sein und es gilt [mm] $w^2=z$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $a^2=x+b^2$ [/mm] und $b=y/2a$. In die erste Gleichung eingesetzt gibt
[mm] $a^2=x+(y/2a)^2$
[/mm]
[mm] $4a^4=4x^2+y^2$
[/mm]
[mm] $a^4-xa^2+(x/2)^2=y^2/4+(x/2)^2$
[/mm]
[mm] $(a^2-x/2)^2=(x^2+y^2)/4$
[/mm]
[mm] $a^2-x/2=\pm|z|/2$
[/mm]
[mm] $a^2=(\operatorname{Re}z\pm|z|)/2$ [/mm] (Wegen [mm] $a^2>0$ [/mm] und [mm] $|z|>\operatorname{Re}z$ [/mm] muss das positive Vorzeichen gelten)
[mm] $a=\pm\sqrt{(|z|+\operatorname{re}z)/2}$ [/mm] und wegen [mm] $\operatorname{Re}w>0$ [/mm] wählen wir das positive Vorzeichen aus.
Wegen [mm] $y\not=0$ [/mm] ist [mm] $|z|-\operatorname{Re}z>0$, [/mm] das heißt, ich darf gleich erweitern, wie ich es tue. Es folgt
[mm] $b=y/2a=\dfrac{\operatorname{Im}z}{2\sqrt{\dfrac{|z|+\operatorname{Re}z}{2}}}=\dfrac{\operatorname{Im}z\sqrt{\dfrac{|z|+\operatorname{Re}z}{2}}}{2\sqrt{\dfrac{|z|+\operatorname{Re}z}{2}}\sqrt{\dfrac{|z|-\operatorname{Re}z}{2}}}=\dfrac{\operatorname{Im}z\sqrt{\dfrac{|z|+\operatorname{Re}z}{2}}}{|\operatorname{Im}z|}=\operatorname{sign}(\operatorname{Im}z)\sqrt{\dfrac{|z|+\operatorname{Re}z}{2}}$
[/mm]
Damit hat es sich geklärt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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