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| Aufgabe | a) Gegeben [mm] (a_1,...,a_k)\in\IR^k, [/mm] zeige: [mm] \limes_{n \to \infty}\left( \summe_{i=1}^{k} \left| a_i \right|^{n}\right)^\bruch{1}{n}=\max_{1 \le i \le k}\left| a_i \right|. [/mm]
b) Seien [mm] p(x)=a_k*x^k+...+a_1*x+a_0 [/mm] und [mm] q(x)=b_l*x^l+...+b_0 [/mm] komplexe Polynome vom Grad k bzw. l, d.h. [mm] a_0,...,a_k,b_0,...,b_l \not= [/mm] 0. Seien q(n) [mm] \not= [/mm] 0 f.a. n [mm] \ge n_0. [/mm] Zeige: Die Folge [mm] c_n={\bruch{p(n)}{q(n)}} [/mm] für n [mm] \ge n_0 [/mm] konvergiert dann und nur dann, wenn k [mm] \le [/mm] l. Berechne im Fall der Konvergenz den Limes. |
Halli hallo. ;)
also, ich brüte gerade über meinen Analyisaufgaben für nächste Woche! Doch leider bin ich hier hängen geblieben. Ich hoffe, dass ihr mir vielleicht ein bisschen weiterhelfen könntet.
zu a) Also, diese Aufgabenstellung ist mir ein wenig unklar. Soll ich hier ziegen, dass die Grenzwerte gleich sind, oder soll ich hier etwas völlig anderes machen? aber andererseits würde es mir hier nicht sehr sinnvoll er scheinen, die Grenzwerte zu vergleichen...
zu b) Ich hab ja hier die Folge [mm] c_n [/mm] gegeben. Hier muss ich doch zeigen, dass sie konvergiert, wenn gilt: k [mm] \le [/mm] l. Wenn das also stimmt, muss ich den Grenzwert (also Limes) berechnen. Leider komme ich nur nicht ganz mit dieser Folge klar, denn dort muss ich ja noch beachten, was für p(x) und q(x) gilt...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich danke euch schon einmal im Vorraus für euere Hilfe!
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> a) Gegeben [mm](a_1,...,a_k)\in\IR^k,[/mm] zeige: [mm]\limes_{n \to \infty}\left( \summe_{i=1}^{k} \left| a_i \right|^{n}\right)^\bruch{1}{n}=\max_{1 \le i \le k}\left| a_i \right|.[/mm]
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> b) Seien [mm]p(x)=a_k*x^k+...+a_1*x+a_0[/mm] und
> [mm]q(x)=b_l*x^l+...+b_0[/mm] komplexe Polynome vom Grad k bzw. l,
> d.h. [mm]a_0,...,a_k,b_0,...,b_l[/mm] <> 0. Seien q(n) <> 0 f.a. n
> geslant [mm]n_0.[/mm] Zeige: Die Folge [mm]c_n={\bruch{p(n)}{q(n)}}[/mm] für
> n geslant [mm]n_0[/mm] konvergiert dann und nur dann, wenn k [mm]\le[/mm] l.
> Berechne im Fall der Konvergenz den Limes.
> Halli hallo. ;)
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> also, ich brüte gerade über meinen Analyisaufgaben für
> nächste Woche! Doch leider bin ich hier hängen geblieben.
> Ich hoffe, dass ihr mir vielleicht ein bisschen
> weiterhelfen könntet.
>
> zu a) Also, diese Aufgabenstellung ist mir ein wenig
> unklar. Soll ich hier ziegen, dass die Grenzwerte gleich
> sind, oder soll ich hier etwas völlig anderes machen? aber
> andererseits würde es mir hier nicht sehr sinnvoll er
> scheinen, die Grenzwerte zu vergleichen...
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> zu b) Ich hab ja hier die Folge [mm]c_n[/mm] gegeben. Hier muss ich
> doch zeigen, dass sie konvergiert, wenn gilt: k leslant l.
> Wenn das also stimmt, muss ich den Grenzwert (also Limes)
> berechnen. Leider komme ich nur nicht ganz mit dieser Folge
> klar, denn dort muss ich ja noch beachten, was für p(x) und
> q(x) gilt...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich danke euch schon einmal im Vorraus für euere Hilfe!
>
>
> Liebe Grüße!
bei a) kann ich Dir helfen. Bei b) nicht, denn die Aufgabenstellung hast Du unverständlich aufgeschrieben ( was ist "geslant" , "leslant" ?, etc....)
Zu a) sei [mm] b_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k}|a_i|^n [/mm] und j [mm] \in [/mm] {1, ...,k} so, dass [mm] |a_j| [/mm] = $ [mm] \max_{1 \le i \le k}\left| a_i \right|. [/mm] $
Du sollst nun zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{b_n} [/mm] --> [mm] |a_j| [/mm] (n--> [mm] \infty)
[/mm]
Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] |a_j|^n \le b_n \le k|a_j|^n. [/mm] Ziehe die n-te Wurzel und Du erhälst
[mm] |a_j| \le \wurzel[n]{b_n} \le \wurzel[n]{k}|a_j| [/mm] und die Behauptung folgt.
FRED
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Hallo... ;)
ja, mensch wie ich sehe, hab ich mich da total vertippt. Diese komischen Wörter sollen bedeuten:
geslant --> [mm] \ge
[/mm]
<> --> [mm] \ne
[/mm]
Das ist echt total peinlich... aber da hat wohl mein Formelcalculator mist gemacht... Sorry, nochmal!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 So 23.11.2008 | | Autor: | mathe_FS |
Hallo,
im Seminar haben wir den Tip bekommen [mm] x^l [/mm] auszuklammern.
Mein Problem ist folgendes (wobei ich denke, dass es ein falsch verstanden Problem ist):
wenn ich in die Gleichung c(n) einsetze, dann müssten doch aus den x alles n werden oder? Ich versteh die Aufgabe gar nicht richtig.
Wer kann mir das Ganze mal erklären??? BITTE!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm doch mal einfach k=4 l=4 etwa und schreib das explizit als bruch auf. (du kannst auch noch fuer die a und b konkrete Zahlen nehmen wenns dann einfacher fuer dich ist.) , dann siehst du, auf was es rauslaeuft . (fuer x natuerlich n einsetzen, ja.
und dann k=3, l=4 oder so aehnlich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 23.11.2008 | | Autor: | mathe_FS |
danke für deine Antwort.
Hab das mal gemacht und würd gern wissen, ob es so richtig wäre.
Für k=l=m komm ich , wenn ich [mm] n^m [/mm] ausklammer auf (am)/(bm) und das läuft dann gegen a/b.
Für k>l komm ich auf einen Rest und somit wäre das nicht beschränkt (?) und würde nicht konvergieren (?)
für k<l würde ich auf auf 0/(bm) kommen.
Wenn das so richtig wäre (was ich ja irgendwie bezweifle), was würde mir das sagen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> danke für deine Antwort.
> Hab das mal gemacht und würd gern wissen, ob es so richtig
> wäre.
> Für k=l=m komm ich , wenn ich [mm]n^m[/mm] ausklammer auf (am)/(bm)
> und das läuft dann gegen a/b.
[mm] a_m,b_m [/mm] sind feste Zahlen die Koeffizienten der Polynome. die laufen gegen nix! bevor du n gegen [mm] \infty [/mm] laufen laesst steht da ja noch mehr als [mm] a_m/b_m
[/mm]
> Für k>l komm ich auf einen Rest und somit wäre das nicht
> beschränkt (?) und würde nicht konvergieren (?)
was heisst hier Rest, schreib den hin und sag, was er fuer n=> [mm] \infty [/mm] tut.
> für k<l würde ich auf auf 0/(bm) kommen.
auch erst im lim richtig, aber richtig, also genauer aufschreiben warum.
> Wenn das so richtig wäre (was ich ja irgendwie bezweifle),
> was würde mir das sagen???
1. Divergenz von [mm] c_n [/mm] fuer k>l
Konvergenz gegen [mm] a_k/b_k [/mm] fuer k=l
und Konvergenz gegen 0 fuer k<l
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 So 23.11.2008 | | Autor: | mathe_FS |
vielen lieben dank, habs verstanden!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Do 27.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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