Komplexe Polynome faktorisiere < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Faktorisieren Sie folgende Polynome über [mm] \IC
[/mm]
1. [mm] 10x^4 [/mm] -160
2. [mm] 2x^4 [/mm] - [mm] 10x^3 [/mm] + [mm] 30x^2 [/mm] - 10x - 52 |
Hallo,
ich soll diese Aufgabe lösen, allerdings ist mir unklar, wie ich Nullstellen im komplexen Zahlenraum finden kann.
Bin bisher nur dazu gekommen, dass der Fundamentalsatz der Algebra was damit zu tun hat. Dieser besagt ja, dass jedes Polynom im bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle hat.
Also es gibt ein Zahl z [mm] \ni \IC [/mm] so dass P(x) = 0
Meine Idee zur Aufg. 1:
[mm] 10x^4 [/mm] - 160 = [mm] (10x^2)^2 [/mm] - [mm] (\wurzel{160})^2 [/mm] = [mm] (10x^2 [/mm] - [mm] \wurzel{160})(10x^2 [/mm] + [mm] \wurzel{160}) [/mm] = ...
Stimmt das? Kann ich da so vorgehen?
Mir stellt sich jetzt die Frage nach den komplexen Zahlen, wie beziehe ich die mit ein?
Bin leider etwas ratlos . . .
Danke im Vorfeld
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Faktorisieren Sie folgende Polynome über [mm]\IC[/mm]
> 1. [mm]10x^4[/mm] -160
> 2. [mm]2x^4[/mm] - [mm]10x^3[/mm] + [mm]30x^2[/mm] - 10x - 52
Spalte doch zuerst einmal die ganz offensichtlichen
ganzzahligen Faktoren ab, anstatt diese dann durch
längere Rechnungen hindurch zu schleppen !
LG
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Hallo,
> Faktorisieren Sie folgende Polynome über [mm]\IC[/mm]
> 1. [mm]10x^4[/mm] -160
> 2. [mm]2x^4[/mm] - [mm]10x^3[/mm] + [mm]30x^2[/mm] - 10x - 52
> Hallo,
>
> ich soll diese Aufgabe lösen, allerdings ist mir unklar,
> wie ich Nullstellen im komplexen Zahlenraum finden kann.
> Bin bisher nur dazu gekommen, dass der Fundamentalsatz der
> Algebra was damit zu tun hat. Dieser besagt ja, dass jedes
> Polynom im bereich der komplexen Zahlen mindestens eine
> Nullstelle hat.
> Also es gibt ein Zahl z [mm]\ni \IC[/mm] so dass P(x) = 0
>
> Meine Idee zur Aufg. 1:
>
> [mm]10x^4[/mm] - 160 = [mm](10x^2)^2[/mm] - [mm](\wurzel{160})^2[/mm] = [mm](10x^2[/mm] - [mm]\wurzel{160})(10x^2[/mm] + [mm]\wurzel{160})[/mm] = ...
>
> Stimmt das?
Nein, die erste Klammer ist schon sehr falsch!
> Kann ich da so vorgehen?
> Mir stellt sich jetzt die Frage nach den komplexen Zahlen,
> wie beziehe ich die mit ein?
>
> Bin leider etwas ratlos . . .
Klammere mal 10 aus:
[mm]10x^4-160=0 \ \gdw \ 10\cdot{}(x^4-16)=0[/mm]
Nun schaue, wann [mm]x^4-16=0[/mm] ist - äquivalent dazu: [mm]x^4=16[/mm] ...
Es gibt 4 Lösungen, 2 reelle, 2 echt komplexe ...
Wenn du die beiden reellen NSTen [mm]x_1,x_2[/mm] hast, kannst du per Polynomdivision [mm](x^4-16):[(x-x_1)(x-x_2)][/mm] zwei Linearfaktoren abspalten und das verbleibende quadratische Ergebnispolynom mit den stadtbekannten Mitteln für quadratische Gleichungen verarzten ...
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> Danke im Vorfeld
>
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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> Nun schaue, wann [mm]x^4-16=0[/mm] ist - äquivalent dazu: [mm]x^4=16[/mm]
>
> Es gibt 4 Lösungen, 2 reelle, 2 echt komplexe ...
Naja, so echt voll komplex sind ja auch diese anderen
beiden nicht ... 
LG , Al
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Hi Al,
aber komplexer als die ersten beiden
Gruß
schachuzipus
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Ok, [mm] x^4 [/mm] = 16 wenn [mm] x_1 [/mm] = 4, [mm] x_2 [/mm] = -4
so weit so klar.
Zur Polynomdivision:
Teile ich jetzt [mm] x^4 [/mm] - 16 : [mm] x^2-16 [/mm] ??
Sorry das ich hier so auf dem Schlauch stehe
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Hallo nochmal,
> Ok, [mm]x^4[/mm] = 16 wenn [mm]x_1[/mm] = 4, [mm]x_2[/mm] = -4
> so weit so klar.
Mir nicht, ich halte das für ein Gerücht: [mm] $4^4=(-4)^4\neq [/mm] 16$
>
> Zur Polynomdivision:
> Teile ich jetzt [mm]x^4[/mm] - 16 : [mm]x^2-16[/mm] ??
Nein, finde zuerst die richtigen reellen NSTen ...
>
> Sorry das ich hier so auf dem Schlauch stehe
So ähnlich geht es aber ...
Gruß
s
chachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Do 05.12.2013 | | Autor: | MatheMax90 |
ja, na klar ... ich war im Kopf bei [mm] x^2
[/mm]
natürlich sind [mm] x_1 [/mm] = 2, [mm] x_2 [/mm] = -2
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Gut, nach der Polynomdivision komme ich auf folgendes:
[mm] x^4 [/mm] - 16 : [mm] x^2 [/mm] - 4 = [mm] x^2 [/mm] - 4 mit einem Rest von -32
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 05.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Gut, nach der Polynomdivision komme ich auf folgendes:
>
> [mm]x^4[/mm] - 16 : [mm]x^2[/mm] - 4 = [mm]x^2[/mm] - 4 mit einem Rest von -32
Hallo,
das ist falsch.
Behandle [mm]x^4-16=(x^2)^2-4^2[/mm] lieber mit der dritten binomischen Formel.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Do 05.12.2013 | | Autor: | MatheMax90 |
die dritte binomische Formel lautet:
(a+b)(a-b) = [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2
[/mm]
was meinst du damit ich solle [mm] x^4 [/mm] - 16 = [mm] (x^2)^2 [/mm] - [mm] 4^2 [/mm] mit der 3. binomischen Formel behandeln ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Do 05.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gut, nach der Polynomdivision komme ich auf folgendes:
>
> [mm]x^4[/mm] - 16 : [mm]x^2[/mm] - 4 = [mm]x^2[/mm] - 4 mit einem Rest von -32
Es gab mal 2 Herren, die hatten die Namen Polynomi und Divisioni. Dann kamm ein 3. Herr dazu, der nannte sich Binomi und sagte: "manchmal gehts einfacher und richtiger, wenn nicht sogar am richtigsten:
[mm] (x^2-4)(x^2+4)=x^4-16."
[/mm]
FREDdi
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gut, ich bin heute zu verwirrt für die einfachsten sachen, sorry....
[mm] (x^2-4)(x^2+4) [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - 16
wie rechne ich nun weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Do 05.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> gut, ich bin heute zu verwirrt für die einfachsten sachen,
> sorry....
>
> [mm](x^2-4)(x^2+4)[/mm] = [mm]x^4[/mm] - 16
>
> wie rechne ich nun weiter?
Bestimme die Nullstellen von [mm] x^2-4 [/mm] und von [mm] x^2+4
[/mm]
FREdi
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die nullstelle von [mm] (x^2 [/mm] - 4) liegt bei [mm] x_3=2
[/mm]
aber die Nullstelle von [mm] (x^2 [/mm] + 4) müsste ja eine komplexe zahl sein, oder?
wenn ja, wie ermittele ich die?
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Hallo Max!
$0 \ = \ [mm] x^2+4 [/mm] \ = \ [mm] x^2-(-4) [/mm] \ = \ [mm] x^2-\left(\wurzel{-4}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2-\left(\wurzel{4}*\wurzel{-1}\right)^2 [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 05.12.2013 | | Autor: | abakus |
> die nullstelle von [mm](x^2[/mm] - 4) liegt bei [mm]x_3=2[/mm]
Hallo,
es sind Nullstellen, nicht nur eine Nullstelle.
Behandle [mm] $x^2-2^2$ [/mm] wiederum mit der 3. binomischen Formel.
Gruß Abakus
> aber die Nullstelle von [mm](x^2[/mm] + 4) müsste ja eine komplexe
> zahl sein, oder?
> wenn ja, wie ermittele ich die?
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Hallo Max!
Auch Dir hier selbstverständlich ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine kurze bitte: stelle (Rück-)Fragen bitte auch als Fragen und nicht nur als Mitteilungen.
> Gut, nach der Polynomdivision komme ich auf folgendes:
>
> [mm]x^4[/mm] - 16 : [mm]x^2[/mm] - 4 = [mm]x^2[/mm] - 4 mit einem Rest von -32
Abgesehen von dem falschen Ergebnis (siehe andere Antworten) fehlen hier in der Darstellung auch noch entscheidende Klammern:
[mm] $\left(x^4-16\right) [/mm] \ : \ [mm] \left(x^2-4\right) [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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> aber komplexer als die ersten beiden
Du denkst also, imaginär sei komplexer als reell
(oder real) ?
Da fragen wir lieber die Philosophen: ich habe da
so eine leise Vermutung, dass wenigstens einigen
von ihnen die reale Welt komplexer erscheinen könnte
als die imaginäre, und zwar aus dem einfachen Grund,
dass wir uns die Letztere selber konstruieren können ...
Al
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Ok, ok ... nochmal Schritt für Schritt:
[mm] 10x^4 [/mm] - 160 = 0 [mm] \gdw 10*(x^4 [/mm] - 16) = 0
[mm] \Rightarrow x_1=2, x_2=-2 \Rightarrow [/mm] [8x-2)(x+2)] = [mm] x^2 [/mm] - 4
[mm] \Rightarrow (x^4 [/mm] - 16) = [mm] [(x^2-4)(x^2+4) [/mm]
[mm] \Rightarrow (x^2-4) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_3=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow (x^2-4) [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 2^2) [/mm] = [(x-2)(x+2)] = 0 [mm] \gdw x_4=2, x_5=-2
[/mm]
Zu [mm] (x^2+4) [/mm] = 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] - (-4) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] (\wurzel{-4})^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] (\wurzel{4} [/mm] * [mm] \wurzel{-1})^2 [/mm] = ...
Ist das soweit nachvollziehbar und richtig gefolgert?
Und wie muss ich die letzte Zeile weiter bearbeiten, damit ich die Nullstellen bestimmen kann?
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Hallo MatheMax,
das liest sich nicht gut.
Den Rest des Threads habe ich allerdings weder verfolgt noch jetzt nachgelesen. Ich nehme an, dass Du längst auf die Moivre-Regel verwiesen worden bist. Die vier Lösungen sind damit +2, -2, +2i, -2i.
> Ok, ok ... nochmal Schritt für Schritt:
>
> [mm]10x^4[/mm] - 160 = 0 [mm]\gdw 10*(x^4[/mm] - 16) = 0
>
> [mm]\Rightarrow x_1=2, x_2=-2[/mm]
Ach, wieso folgt das? Durch Hingucken? Richtig ist es jedenfalls, aber nicht offensichtlicher als die jetzt noch fehlenden Lösungen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [8x-2)(x+2)] =
> [mm]x^2[/mm] - 4
Die 8 sollte wohl eine linke Klammer werden. So ohne Umschalttaste ist das aber etwas verwirrend. 
Und was macht denn das [mm] "$\Rightarrow\" [/mm] da?
Das folgt keineswegs aus den Lösungen, auch wenn es wahr ist. Das ist schließlich die 3.binomische Formel im Reellen.
> [mm]\Rightarrow (x^4[/mm] - 16) = [mm][(x^2-4)(x^2+4)[/mm]
Auch das wäre ohne Folgerung gegangen, sprich: das hättest Du einfach mal direkt so zerlegen können. Das wäre also eine prima erste Zeile...
> [mm]\Rightarrow (x^2-4)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_3=2[/mm]
Das hatten wir doch schon. Hier bekommst Du das heraus, was Du vorher hineingesteckt hast. Das hilft also nicht weiter, außerdem ergibt es keine "neue" Lösung der ursprünglichen Gleichung. Dein [mm] x_3 [/mm] ist nichts anderes als das schon vorhandene [mm] x_1.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow (x^2-4)[/mm] = [mm](x^2[/mm] - [mm]2^2)[/mm] = [(x-2)(x+2)]
> = 0 [mm]\gdw x_4=2, x_5=-2[/mm]
Auch nichts Neues. Du scheinst Schwierigkeiten mit der Logik einer Niederschrift ("Aufschrieb") zu haben. Hier ist [mm] x_4=x_3=x_1 [/mm] und [mm] x_5=x_2, [/mm] ohne dass es sich dabei um sog. mehrfache Lösungen handeln würde.
Mit anderen Worten: bisher gibt es nach wie vor nur zwei der vier Lösungen.
> Zu [mm](x^2+4)[/mm] = 0 [mm]\gdw x^2[/mm] - (-4) = [mm]x^2[/mm] -
> [mm](\wurzel{-4})^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] - [mm](\wurzel{4}[/mm] * [mm]\wurzel{-1})^2[/mm] =
> ...
Na, hier kommen wir der Sache schon näher. Wenn Du jetzt noch weißt, dass per definitionem [mm] i=\wurzel{-1} [/mm] ist, dann bist Du doch fertig. Dass [mm] x^2=4 [/mm] zwei Lösungen hat, hast Du ja nun schon mehr als genug bemüht - hier brauchst Du es aber tatsächlich noch einmal.
Die fehlenden Lösungen [mm] x_3=\wurzel{2}i [/mm] und [mm] x_4=-\wurzel{2}i [/mm] solltest jetzt jedenfalls ohne Mühe zeigen können.
> Ist das soweit nachvollziehbar und richtig gefolgert?
Nein, siehe oben.
> Und wie muss ich die letzte Zeile weiter bearbeiten, damit
> ich die Nullstellen bestimmen kann?
Ebenfalls: siehe oben. Und stell Dich doch nicht dümmer an, als Du bist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Do 05.12.2013 | | Autor: | MatheMax90 |
ich werde mich motgen nochmal damit beschäftigen, vorallem mit dem Aufschrieb....
Vielen Dank für eure Ausdauer und sorry bzgl der umständigen rechnerei...
grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Do 05.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo MatheMax,
man kann diese Faktorisierung in einer einzigen Zeile leicht nachvollziehbar lösen. Dazu braucht man genau dreimal die dritte binomische Formel, sonst nichts. Danach kann man die vier Lösungen einfach ablesen und noch darunter schreiben.
Probiers mal.
Grüße
reverend
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Nach der schweren Geburt von Aufgabe 1, jetzt zur 2.
[mm] 2x^4 [/mm] - [mm] 10x^3 [/mm] + [mm] 30x^2 [/mm] - 10x - 52
hier könnte ich erstmal die 2 ausklammern:
[mm] 2*(x^4 [/mm] - [mm] 5x^3 [/mm] + [mm] 15x^2 [/mm] - 5x - 26)
dieser Term wird = 0 genau dann wenn [mm] x_1=2
[/mm]
aber wie rechne ich hier weiter? Polynomdivision, um den Grad zu verringern?
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Ok,
Polynomdivision bringt diese lösung:
[mm] (x^4 [/mm] - [mm] 5x^3 [/mm] + [mm] 15x^2 [/mm] - 5x - 26) : (x - 2) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 9x + 13
das Ergebnis kann ich ja auch wie folgt schreiben:
13 + x*(9 + x*(-3 + x)) aber hilft mir das weiter, oder bin ich hier auf dem holzweg?
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Ja, stimmt. Eine weitere Nullstelle liegt bei [mm] x_2= [/mm] -1
Die Polynomdivision bringt nun:
[mm] (x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 9x + 13) : (x + 1) = [mm] x^2 [/mm] - 4x +13
Dieser Term hat jetzt auf keinen Fall mehr eine reelle Nullstelle.
um die komplexen Nullstellen zu finden muss ich jetzt umformen. Macht da eine bino. Formel Sinn ? Also sprich die zweite.
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> Nach der schweren Geburt von Aufgabe 1, jetzt zur 2.
>
> [mm]2x^4[/mm] - [mm]10x^3[/mm] + [mm]30x^2[/mm] - 10x - 52
>
> hier könnte ich erstmal die 2 ausklammern:
>
> [mm]2*(x^4[/mm] - [mm]5x^3[/mm] + [mm]15x^2[/mm] - 5x - 26)
>
> dieser Term wird = 0 genau dann wenn [mm]x_1=2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
1.) das "genau dann, wenn" ist falsch !
Es gibt nämlich eine weitere reelle und dazu zwei
weitere "echt komplexe" Lösungen.
2.) ich habe da leider noch einen ziemlich schlimmen
Verdacht; deswegen hake ich nach:
wie bist du auf [mm] x_1 [/mm] = 2 gekommen ?
> aber wie rechne ich hier weiter? Polynomdivision, um
> den Grad zu verringern?
Ja, für jede gefundene Lösung kannst du durch Polynom-
division einen linearen Faktor ausklammern und damit
den Grad des "Restpolynoms" verringern.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 06.12.2013 | | Autor: | MatheMax90 |
auf [mm] x_1=2 [/mm] bin ich durch ausprobieren gekommen
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
