Komplexe Nullstellen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mo 21.01.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Gesucht sind alle komplexen Nullstellen der Funktion:
[mm] f(x) = x^{4}+4[/mm]
[mm] x \in \IC [/mm] |
Hallo zusammen.
Also:
[mm] x^{4}+4 = 0[/mm]
[mm] x^{4}=-4[/mm]
[mm] x^{2}=\wurzel{-4}[/mm]
wegen [mm] \wurzel{-1} = i [/mm] kann man weiter schreiben:
[mm] x^{2}=i * \wurzel{4}[/mm]
[mm] x^{2}=2i [/mm]
[mm] x=\wurzel{2i}[/mm]
Irgendetwas scheint da nicht zu stimmen, oder?
Es sollen angeblich folgende Nullstellen herauskommen:
[mm] (1+i), (1-i), (-1+i), (-1-i) [/mm]
Aber wie kommt man darauf?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 21.01.2008 | | Autor: | abakus |
> Gesucht sind alle komplexen Nullstellen der Funktion:
>
> [mm]f(x) = x^{4}+4[/mm]
>
> [mm]x \in \IC[/mm]
> Hallo zusammen.
>
> Also:
>
> [mm]x^{4}+4 = 0[/mm]
>
> [mm]x^{4}=-4[/mm]
>
Keine Wurzel ziehen!
Wie sieht eine Komplexe Zahl aus, deren 4. Potenz -4 ergibt (bzw. 4(cos 180° + i sin 180°)?
Der Betrag ist die 4. Wurzel aus 4. Das Argument sind alle Winkel, deren 4-faches 180° (oder 180°+360°, 180°+2*360° usw.) ergibt.
> [mm]x^{2}=\wurzel{-4}[/mm]
>
> wegen [mm]\wurzel{-1} = i[/mm] kann man weiter schreiben:
>
> [mm]x^{2}=i * \wurzel{4}[/mm]
>
> [mm]x^{2}=2i[/mm]
>
> [mm]x=\wurzel{2i}[/mm]
>
> Irgendetwas scheint da nicht zu stimmen, oder?
>
> Es sollen angeblich folgende Nullstellen herauskommen:
>
> [mm](1+i), (1-i), (-1+i), (-1-i)[/mm]
>
> Aber wie kommt man darauf?
>
> Viele Grüße, Andreas
Solltest du mit diesen Polarkoordinaten nichts anfangen können, dann geht es auch so:
Eine unbekannte komplexe Zahl der Form z=a+ib soll die Eigenschaft haben, dass [mm] z^4=-4 [/mm] gilt.
Dann gilt aber
[mm] z^4=(a+ib)^4=a^4+4a^3ib+6a^2b^2i^2+4ab^3i^3+b^4i^4.
[/mm]
Von diesen 5 Summenden sind 3 real und 2 imaginär. (Dazu muss jedes ausklammerbare [mm] i^2 [/mm] durch -1 ersetzt werden.
Der Ausdruck [mm] z^4=-4 [/mm] hat den Realteil -4 und den Imaginärteil 0.
Also gilt [mm] a^4-6a^2b^2+b^4=-4 [/mm] und [mm] 4a^3b-4ab^3=0.
[/mm]
Dieses Gleichungssystem liefert einige Paare (a,b), die den entsprechenden komplexen Lösungen a+ib entsprechen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 21.01.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo abakus, vielen Dank für Deine ausführliche Antwort!
> Keine Wurzel ziehen!
> Wie sieht eine Komplexe Zahl aus, deren 4. Potenz -4
> ergibt (bzw. 4(cos 180° + i sin 180°)?
> Der Betrag ist die 4. Wurzel aus 4. Das Argument sind
> alle Winkel, deren 4-faches 180° (oder 180°+360°,
> 180°+2*360° usw.) ergibt.
Also die 4. Wurzel aus 4 ist [mm]\wurzel{2}[/mm] Das ist klar.
Wie kommst Du aber auf:
>Das Argument sind
> alle Winkel, deren 4-faches 180° (oder 180°+360°,
> 180°+2*360° usw.) ergibt.
Wie kommst Du auf 180°?
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mo 21.01.2008 | | Autor: | abakus |
Es gilt 4*(cos180°+isin180°)=4*(-1+i*0)=-4.
Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen (und eben auch beim Potenzieren) werden die Beträge multipliziert und die Argumente der Faktoren (also die "Winkel") addiert.
So ist eben [mm] (\wurzel{2}*(cos [/mm] 45° +i sin [mm] 45°))^4={\wurzel{2}}^4 [/mm] * (cos 4*45° +i sin 4*45°).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 21.01.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo abakus!
> Es gilt 4*(cos180°+isin180°)=4*(-1+i*0)=-4.
> Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen (und eben auch
> beim Potenzieren) werden die Beträge multipliziert und die
> Argumente der Faktoren (also die "Winkel") addiert.
> So ist eben [mm](\wurzel{2}*(cos[/mm] 45° +i sin
> [mm]45°))^4={\wurzel{2}}^4[/mm] * (cos 4*45° +i sin 4*45°).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Alles klar, jetzt hab ich's verstanden.
Vielen Dank für Deine Hilfe, abakus!
Andreas
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