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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Di 25.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
| Aufgabe | | Für welche $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt [mm] $z^2 [/mm] + 2z + 1 - 8i = 0$? |
Also, da $z = a + bi$ und [mm] $z^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] + 2abi$ gilt, bekomme ich
[mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] + 2abi + 2a + 2bi + 1 - 8i = 0$
Daraus bilde ich nun ein LGS mit
[mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] + 2a + 1 = 0$
$2abi + 2bi - 8i = 0$
Aber nun habe ich einen Hänger, ich weiß nicht wie ich jetzt weitermachen soll, am Ende muss ich damit wohl den Realteil herausbekommen denke ich. :-?
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Du könntest - falls du darfst - die Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden. Die gilt auch im Komplexen, du musst nur herausfinden, wie man komplexe Quadratwurzeln zieht.
> Daraus bilde ich nun ein LGS mit
>
> [mm]a^2 - b^2 + 2a + 1 = 0[/mm]
> [mm]2abi + 2bi - 8i = 0[/mm]
Das ist ein GS (Gleichungssystem), aber kein LGS (lineares Gleichungssystem), da die gesuchten Variablen a und b nicht nur linear vorkommen.
Du kannst in der zweiten Gleichung das i rausteilen, dann hast du ein rein reelles Gleichungssystem übrig. Dann kannst du die zweite Gleichung nach a umstellen, und die Lösung in die erste Gleichung einsetzen, um eine Gleichung in b zu erhalten.
Gruß,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 25.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Also wenn ich die 2. Zeile nach a umstelle, bekomme ich
$a = -1 + [mm] \bruch{1}{4}b$
[/mm]
Eingesetzt in die 1.Zeile, bekomme ich nun $b = 0$, aber so solls doch sicherlich nicht sein, denke ich?
Wenn ich es mit der Lösungsformel probiere, bekomme ich
[mm] $z_{1,2} [/mm] = -1 [mm] \pm \wurzel{8i}$, [/mm] wobei ich nicht weiß ob ich hier $q = 1 - 8i$ setzen muss ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Di 25.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Also ich denk, das solltest du nochmal nachrechnen, wenn ich die zweite Zeile nach a auflöse bekomm ich: a = [mm] \bruch{4}{b} [/mm] - 1
...
glaub aber es ist leichter die erste Zeile nach b aufzulösen und dann in der 2ten einzusetzen!
Wie das mit der Lösungsformel ist, weiß ich nciht, aber die Wurzel aus i klingt nicht gut!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Di 25.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Du hast Recht, ich habe ich verrechnet gehabt, wenn ich die richtige Lösung für a in die 1. Zeile einsetze, bekomme ich dann
[mm] $b^4 [/mm] + 8b - 16 = 0$.
Verdammtes [mm] b^4, [/mm] hier könnte man ja sonst sicher die Lösungsformel anwenden und dann noch a ausrechnen [mm] :-\
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Di 25.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ich glaube ich habe nun eine Lösung:
[mm] $z_1 [/mm] = 1 + 2i$
[mm] $z_2 [/mm] = -3 - 2i$.
Vielleicht kann es ja jemand nachprüfen? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
ja! :) Hab ich auch rausbekommen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 25.07.2006 | | Autor: | flobaho |
Mit [mm]a=\frac{4}{b}-1[/mm] erhälst du in der 1. Zeile [mm]b=2[/mm] (es kürzt sich fast alles weg) und beim erneuten einsetzen [mm]a=1[/mm]. Diese werte Kingen doch vernünftig...
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