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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 05.03.2010 | | Autor: | jugliema |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen [mm] z\in\IC [/mm] von
[mm] \left( z-\bruch{i}{2} \right)^4=-\bruch{1}{4} [/mm]
in kartesischer Darstellung. |
Hallo
kann mir hier jemand weiterhelfen habe schon versucht das ganze Umzustellen und nach der algebraischen Gleichung aufzulösen. Komme aber nie auf die Ergebnisse.
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Hallo!
> Bestimmen Sie alle Lösungen [mm]z\in\IC[/mm] von
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> [mm]\left( z-\bruch{i}{2} \right)^4=-\bruch{1}{4}[/mm]
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> in kartesischer Darstellung.
> Hallo
> kann mir hier jemand weiterhelfen habe schon versucht das
> ganze Umzustellen und nach der algebraischen Gleichung
> aufzulösen. Komme aber nie auf die Ergebnisse.
Was hast du denn bisher gerechnet?
Es handelt sich ja im Grunde um ein Polynom vierten Grades, von welchem wir die Nullstellen suchen. (Ganz stark abstrahiert). Das heißt wir erwarten 4 Lösungen in [mm] \IC.
[/mm]
Dann zieh' doch erstmal die Wurzel. Daraus erhältst du:
[mm] $\left( z-\bruch{i}{2} \right)^2=\pm\sqrt{-\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \pm\frac{1}{2}*i$
[/mm]
Nun gilt es nochmal die Wurzel zu ziehen. Dazu musst du aber wissen, was die Wurzel von i ist. Kannst du das ausrechnen?
Wenn du es nicht weißt: Mach' den Ansatz [mm] $\sqrt{i} [/mm] = a+b*i$, quadriere, und danach Koeffizientenvergleich.
Grüße,
Stefan
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Hallo jugliema,
> Bestimmen Sie alle Lösungen [mm]z\in\IC[/mm] von
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> [mm]\left( z-\bruch{i}{2} \right)^4=-\bruch{1}{4}[/mm]
>
> in kartesischer Darstellung.
> Hallo
> kann mir hier jemand weiterhelfen habe schon versucht das
> ganze Umzustellen und nach der algebraischen Gleichung
> aufzulösen. Komme aber nie auf die Ergebnisse.
Alternativ substituiere [mm] $w:=z-\frac{i}{2}$ [/mm] und benutze die Moivre-Formel.
Es ist [mm] $\left|w^4\right|=|w|^4=\frac{1}{4}$ [/mm] und [mm] $\operatorname{arg}\left(w^4\right)=\operatorname{arg}\left(-\frac{1}{4}\right)=\pi$ [/mm] (Zeichnung machen!)
Damit bestimme gem. Mivre-Formel die 4 Lösungen [mm] $w_k, [/mm] \ k=0,1,2,3$
Dann resubstituieren und fertig
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Fr 05.03.2010 | | Autor: | jugliema |
Danke für die schnelle Antwort ich versuche mal zu rechenn
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