Komplexe Fourierreihe f(x)=x^2 < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 06.02.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die komplexe Fourierreihe zu
f(x) = [mm] x^2 [/mm] mit [mm] (-\pi [/mm] < x < [mm] \pi) [/mm] |
Moin Moin,
ich soll also eine komplexe Fourierreihe der Form
f(x) = [mm] c_0 [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} c_n*e^{-jnx}
[/mm]
finden, richtig?
1. Berechnen von [mm] c_0 [/mm]
[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*[\bruch{1}{3}*x^3] [/mm] von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm]
[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(\bruch{1}{3}*\pi^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*(-\pi)^3) [/mm]
[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\bruch{2*\pi^3}{3} =\bruch{\pi^2}{3}
[/mm]
2. Berechnen der [mm] c_n [/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*e^{-jnx} dx}
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^2*e^{-jnx} dx}
[/mm]
Partielle Integration 1. Stufe
u = [mm] x^2 [/mm] v ' = [mm] e^{-jnx}
[/mm]
u ' = 2x v = - [mm] \bruch{1}{jn}*e^{-jnx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { [mm] [x^2*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx})] [/mm] - [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*(-\bruch{1}{jn}*e^{-jnx}) dx} [/mm] }
= [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { [- [mm] \bruch{x^2}{jn}*e^{-jnx}] [/mm] + [mm] \bruch{1}{jn}* \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*e^{-jnx} dx} [/mm] }
Partielle Integration 2. Stufe Nebenrechnung
[mm] \bruch{1}{jn}* \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*e^{-jnx} dx}
[/mm]
u = 2x v ' = [mm] e^{-jnx}
[/mm]
u ' = 2 v = - [mm] \bruch{1}{jn}*e^{-jnx} [/mm]
[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [2x*(- [mm] \bruch{1}{jn}*e^{-jnx})] [/mm] - [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{2*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx}) dx} [/mm] )
[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [- [mm] \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx}] +\bruch{2}{jn} \integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-jnx} dx} [/mm] )
[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [- [mm] \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx}] +\bruch{2}{jn} [/mm] [- [mm] \bruch{1}{jn}e^{-jnx}] [/mm] )
[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [- [mm] \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx} [/mm] - [mm] \bruch{2}{j^2n^2}*e^{-jnx}] [/mm] )
[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [- [mm] \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^2}*e^{-jnx}] [/mm] )
[- [mm] \bruch{2x}{j^2n^2}*e^{-jnx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}] [/mm]
[mm] [\bruch{2x}{n^2}*e^{-jnx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}] [/mm]
***
Teilergebnisse zusammenfügen...
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { [- [mm] \bruch{x^2}{jn}*e^{-jnx} +\bruch{2x}{n^2}*e^{-jnx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}] [/mm] }
= [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { - [mm] \bruch{\pi^2}{jn}*e^{-jn*\pi} +\bruch{2*\pi}{n^2}*e^{-jn*\pi} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jn*\pi}- [/mm] ( - [mm] \bruch{(-\pi)^2}{jn}*e^{-jn*(-\pi)} +\bruch{2*(-\pi)}{n^2}*e^{-jn*(-\pi)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jn*(-\pi}) [/mm] ) }
Aus der Euler-Identität folgt [mm] e^{j*\pi} [/mm] = [mm] e^{-j*\pi} [/mm] = -1
sowie [mm] e^{jn\pi} [/mm] = [mm] cos(n\pi) [/mm] und [mm] e^{-jn\pi} [/mm] = [mm] cos(-n\pi)
[/mm]
ferner gilt [mm] cos(n\pi) [/mm] = [mm] cos(-n\pi) [/mm] =>
[mm] e^{jn\pi} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] und [mm] e^{-jn\pi} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm]
=>
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { - [mm] \bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] - ( - [mm] \bruch{(-\pi)^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*(-\pi)}{n^2}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] ) }
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { - [mm] \bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] - [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] ) }
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { [mm] +\bruch{4*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] } = [mm] \bruch{2}{n^2}*(-1)^n [/mm]
richtig?
Die gesuchte Fourierreihe lautet also:
f(x) = [mm] \bruch{\pi^2}{3} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2}{n^2}*(-1)^n *e^{jnx}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:57 Do 07.02.2019 | | Autor: | fred97 |
> Entwickeln Sie die komplexe Fourierreihe zu
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] mit [mm](-\pi[/mm] < x < [mm]\pi)[/mm]
>
>
> Moin Moin,
>
> ich soll also eine komlexe Fourierreihe der Form
>
> f(x) = [mm]c_0[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n} c_n*e^{-jnx}[/mm]
>
> finden, richtig?
Nein, so sieht die Fourierreihe nicht aus, sondern so:
[mm] \summe_{n \in \IZ}^{} c_n*e^{jnx}.
[/mm]
>
>
> 1. Berechnen von [mm]c_0[/mm]
>
> [mm]c_0 =\bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^2 dx} = \bruch{1}{2\pi}*[\bruch{1}{3}*x^3][/mm] von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]c_0 = \bruch{1}{2\pi}*(\bruch{1}{3}*\pi^3- \bruch{1}{3}*(-\pi)^3)[/mm]
>
> [mm]c_0 = \bruch{1}{2\pi}*\bruch{2*\pi^3}{3} =\bruch{\pi^2}{3}[/mm]
Das stimmt.
>
>
> 2. Berechnen der [mm]c_n[/mm]
für n [mm] \in \IZ [/mm] und n [mm] \ne [/mm] 0 ....
>
>
> [mm]c_n =\bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*e^{-jnx} dx}[/mm]
>
> [mm]c_n = \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^2*e^{-jnx} dx}[/mm]
>
>
> Partielle Integration 1. Stufe
>
> u = [mm]x^2[/mm] v ' = [mm]e^{-jnx}[/mm]
>
> u ' = 2x v = - [mm]\bruch{1}{jn}*e^{-jnx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}{ [x^2*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx})] - \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*- (\bruch{1}{jn}*e^{-jnx}) dx} }[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}{ [- \bruch{x^2}{jn}*e^{-jnx}] + \bruch{1}{jn}* \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*e^{-jnx}) dx} }[/mm]
>
>
> Partielle Integration 2. Stufe Nebenrechnung
>
> [mm]\bruch{1}{jn}* \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*e^{-jnx}) dx}[/mm]
>
> u = 2x v ' = [mm]e^{-jnx}[/mm]
>
> u ' = 2 v = - [mm]\bruch{1}{jn}*e^{-jnx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [2x*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx})] - \integral_{-\pi}^{\pi}{2*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx}) dx}[/mm] )
>
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [- \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx}] +\bruch{2}{jn} \integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-jnx}) dx}[/mm] )
>
>
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [- \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx}] +\bruch{2}{jn} [- \bruch{1}{jn}e^{-jnx}][/mm] )
>
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [-\bruch{2x}{jn}*e^{-jnx} - \bruch{2}{j^2n^2}*e^{-jnx}][/mm] )
>
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [- \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx} + \bruch{2}{n^2}*e^{-jnx}][/mm] )
>
> [- [mm]\bruch{2x}{j^2n^2}*e^{-jnx} +\bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}][/mm]
>
> [mm][\bruch{2x}{n^2}*e^{-jnx} + \bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}][/mm]
>
> ***
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { [- \bruch{x^2}{jn}*e^{-jnx} +\bruch{2x}{n^2}*e^{-jnx} +\bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}] }[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { -\bruch{\pi^2}{jn}*e^{-jn*\pi} +\bruch{2*\pi}{n^2}*e^{-jn*\pi} +\bruch{2}{jn^3}*e^{-jn*\pi}- ( - \bruch{(-\pi)^2}{jn}*e^{-jn*(-\pi)} +\bruch{2*(-\pi)}{n^2}*e^{-jn*(-\pi)} + \bruch{2}{jn^3}*e^{-jn*(-\pi}) ) }[/mm]
>
> Die Euler-Identität besagt, dass [mm]e^{j*\pi} =e^{-j*\pi} = -1[/mm]
>
> bzw. [mm]e^{jn\pi} = cos(n\pi) = cos(-n\pi) = e^{-jn\pi} = (-1)^n[/mm]
>
> richtig?
>
> =>
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { -\bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n + \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n - ( -\bruch{(-\pi)^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*(-\pi)}{n^2}*(-1)^n + \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n ) }[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { -\bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n +\bruch{2}{jn^3}*(-1)^n + \bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n[/mm] + [mm] \bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] - [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] ) [/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { +\bruch{4*\pi}{n^2}*(-1)^n } = \bruch{2}{n^2}*(-1)^n[/mm]
>
>
> richtig?
Ja, für n [mm] \ne [/mm] 0 ist [mm] $c_n= \bruch{2}{n^2}\cdot{}(-1)^n [/mm] $
>
>
> Die gesuchte Fourierreihe lautet also:
>
> f(x) = [mm]\bruch{\pi^2}{3} + \summe_{i=1}^{n} \bruch{2}{n^2}*(-1)^n *e^{-jnx}[/mm]
Gleicher Fehler wie oben. Die FR lautet
[mm]\bruch{\pi^2}{3} +\summe_{n \in \IZ}^{} \bruch{2}{n^2}*(-1)^n *e^{jnx}[/mm].
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Fr 08.02.2019 | | Autor: | hase-hh |
Komplexe Fourierreihe
f(x) = [mm] c_0 +c_1*e^{j*1*x} +c_{-1}*e^{-j*1*x} [/mm] + ....
wobei [mm] c_{-1} [/mm] die konjugiert komplexe Zahl zu [mm] c_1 [/mm] ist ... usw.
Ferner gilt hier: [mm] c_{-n} [/mm] = [mm] c_n [/mm] ... woraus sich weitere Implikationen ergeben.
f(x) = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} c_n*e^{jnx} [/mm]
bzw.
f(x) = [mm] c_0 [/mm] + [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} c_n*e^{jnx} [/mm] mit [mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{}^{}{f(x)*e^{-jnx} dx} [/mm] und n [mm] \in \IZ [/mm]
[mm] n\not=0
[/mm]
|
|
|
|
