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| Aufgabe | a)Sei [mm] a\in\mathbb{R}.
[/mm]
[mm] \operatorname{Re}(e^{a})\,=
[/mm]
b) Sei [mm] a\,,\,b\in\mathbb{R}.
[/mm]
[mm] \left|e^{i(a+ib)}\right|\,=
[/mm]
c) [mm] \operatorname{Im}(e^{(i^2)})\,=
[/mm]
d)Sei [mm] a\in\mathbb{R}.
[/mm]
[mm] \operatorname{arg}(e^{a})\,= [/mm] |
Hallo.
Ich soll die o.g Aufgaben beantworten.
Ich bin mir jedoch unsicher und stelle deswegen meine Lösungsvorschläge hier rein, in der Hoffnung, dass ihr mal ein Augae drüber werfen könnt.
a) a ist Element aus [mm] \IR. [/mm] Demnach ist es eine beliebige Variable aus [mm] \IR.
[/mm]
Da selbe gilt für [mm] e^x, [/mm] mit x [mm] \in \IR.
[/mm]
Deswegen wäre meine Deutung , dass [mm] \operatorname{Re}(e^{a})\,=e^a [/mm] ist.
Darstellbar als: [mm] e^a=1+a+\bruch{a^2}{2!}+\bruch{a^2}{3!}+......
[/mm]
b) [mm] |e^{i(a+ib)}|
[/mm]
Den Term [mm] e^{i(a+ib)} [/mm] könnte ich doch umformen in:
[mm] e^{i*a+i^2*b}=e^{-b+ia}. [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Potengesetz)
[mm] e^-b*e^{ia}=e^-b*(cos(a)+i*sin(a))= \bruch{1}{e^b}*(cos(a)+i*sin(a))
[/mm]
Hier bin ich mir aber sehr unsicher.
[mm] e^{ia} [/mm] könnte man jan darstellen als:
[mm] 1+ia-\bruch{a^2}{2!}-\bruch{ia}{3!}+{a^4}{4!} [/mm] usw.
Das wäre wiederum:
[mm] {1-\bruch{a^2}{2!}+\bruch{a^4}{4!}}+ i*(a-\bruch{a^3}{3!}+\bruch{a^5}{5!}), [/mm] was den Taylorreihen von cos{a} und sin{a} entspricht.
Liege ich denn mit der bisherigen Annahme richtig?
c)
Sehe ich es richtig , dass hier der Imaginärteil von [mm] e^{i^2} [/mm] gesucht wird?
Damit hat die Funktion doch gar keine Variable (maximal den Parameter 1).
[mm] i^2=-1
[/mm]
Also würde nach normaler Termumformung dort stehen [mm] e^{-1}=\bruch{1}{e}.
[/mm]
Ich bin etwas verwirrt, im Umgang mit mit dieser Aufgabe und weiß nicht so richtig in welche Richtung ich gehen soll.
d) a ist eine Variable aus den Mengen der reelen Zahlen. Dadurch vermute ich, dass [mm] e^a=e^a [/mm] ist. Also kann [mm] e^a [/mm] doch keinen imaginären Teil besitzen und somit ist es nicht in kartestischen Koordinaten oder Polarkoordinaten darstellbar.
Da es sich dann scheinbar hier um keinen Winkel handelt, habe ich nachgeschaut, was Argument überhaupt bedeutet und bin darauf gestoßen, dass Argument die unabhängige Variable einer Funktion bezeichnet.
Dies wäre für diese Funktion a.
Ich würde mich über ein paar Antworten und ggf. Erklärungen sehr erfreuen.
Denn leider bin ich mir bei diesen Aufgaben total unsicher.
Reihen habe wir in den Vorlesungen nicht besprochen (bisher....vllt kommts ja irgendwann noch), jedoch wissen wir, dass [mm] e^x [/mm] als Reihe darstellbar ist.
Diese Marc Laurinsche Formel habe ich auch nur per Österreicher Matheskript gefunden :D
Ich danke euch im Voraus.
Viele Grüße :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> a)Sei [mm]a\in\mathbb{R}.[/mm]
>
> [mm]\operatorname{Re}(e^{a})\,=[/mm]
>
> b) Sei [mm]a\,,\,b\in\mathbb{R}.[/mm]
>
> [mm]\left|e^{i(a+ib)}\right|\,=[/mm]
>
> c) [mm]\operatorname{Im}(e^{(i^2)})\,=[/mm]
>
> d)Sei [mm]a\in\mathbb{R}.[/mm]
>
> [mm]\operatorname{arg}(e^{a})\,=[/mm]
> Hallo.
>
> Ich soll die o.g Aufgaben beantworten.
> Ich bin mir jedoch unsicher und stelle deswegen meine
> Lösungsvorschläge hier rein, in der Hoffnung, dass ihr
> mal ein Augae drüber werfen könnt.
>
> a) a ist Element aus [mm]\IR.[/mm] Demnach ist es eine beliebige
> Variable aus [mm]\IR.[/mm]
> Da selbe gilt für [mm]e^x,[/mm] mit x [mm]\in \IR.[/mm]
> Deswegen wäre
> meine Deutung , dass [mm]\operatorname{Re}(e^{a})\,=e^a[/mm] ist.
Richtig. für reelles a ist [mm] e^a \in \IR.
[/mm]
>
> Darstellbar als:
> [mm]e^a=1+a+\bruch{a^2}{2!}+\bruch{a^2}{3!}+......[/mm]
>
> b) [mm]|e^{i(a+ib)}|[/mm]
>
> Den Term [mm]e^{i(a+ib)}[/mm] könnte ich doch umformen in:
>
> [mm]e^{i*a+i^2*b}=e^{-b+ia}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (Potengesetz)
> [mm]e^-b*e^{ia}=e^-b*(cos(a)+i*sin(a))= \bruch{1}{e^b}*(cos(a)+i*sin(a))[/mm]
>
> Hier bin ich mir aber sehr unsicher.
> [mm]e^{ia}[/mm] könnte man jan darstellen als:
> [mm]1+ia-\bruch{a^2}{2!}-\bruch{ia}{3!}+{a^4}{4!}[/mm] usw.
> Das wäre wiederum:
> [mm]{1-\bruch{a^2}{2!}+\bruch{a^4}{4!}}+ i*(a-\bruch{a^3}{3!}+\bruch{a^5}{5!}),[/mm]
> was den Taylorreihen von cos{a} und sin{a} entspricht.
machs doch nicht so umständlich !
Es ist doch der Betrag von $ [mm] e^{i(a+ib)} [/mm] $ gesucht !
$| [mm] e^{i(a+ib)}| [/mm] = [mm] |e^{i\cdot{}a+i^2\cdot{}b}|=|e^{-b+ia}|= |e^{-b}|*|e^{ia}|= e^{-b} [/mm] $
Ist Dir Klar, warun [mm] |e^{ia}|=1 [/mm] ist ?
>
> Liege ich denn mit der bisherigen Annahme richtig?
>
> c)
> Sehe ich es richtig , dass hier der Imaginärteil von
> [mm]e^{i^2}[/mm] gesucht wird?
Ja
> Damit hat die Funktion doch gar keine Variable (maximal
> den Parameter 1).
Welche Funktion ? Du sollst den Imaginärteil ener gewisse komplexen Zahl bestimmen. Basta !
> [mm]i^2=-1[/mm]
> Also würde nach normaler Termumformung dort stehen
> [mm]e^{-1}=\bruch{1}{e}.[/mm]
Ja, also : [mm] Im(e^{i^2})=0
[/mm]
>
> Ich bin etwas verwirrt, im Umgang mit mit dieser Aufgabe
> und weiß nicht so richtig in welche Richtung ich gehen
> soll.
>
> d) a ist eine Variable aus den Mengen der reelen Zahlen.
> Dadurch vermute ich, dass [mm]e^a=e^a[/mm] ist.
Na klar, was soll die Trivialität. ? Es ist auch 5=5
> Also kann [mm]e^a[/mm] doch
> keinen imaginären Teil besitzen und somit ist es nicht in
> kartestischen Koordinaten oder Polarkoordinaten
> darstellbar.
Quatsch !
> Da es sich dann scheinbar hier um keinen Winkel handelt,
Bingo ! Kein winkel , kein Argument, also [mm] arg(e^a)=0
[/mm]
Schau Dir das mal an: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
> habe ich nachgeschaut, was Argument überhaupt bedeutet und
> bin darauf gestoßen, dass Argument die unabhängige
> Variable einer Funktion bezeichnet.
Blödsinn, wo hast Du das her ?
>
> Dies wäre für diese Funktion a.
Quatsch.
FRED
>
> Ich würde mich über ein paar Antworten und ggf.
> Erklärungen sehr erfreuen.
> Denn leider bin ich mir bei diesen Aufgaben total
> unsicher.
> Reihen habe wir in den Vorlesungen nicht besprochen
> (bisher....vllt kommts ja irgendwann noch), jedoch wissen
> wir, dass [mm]e^x[/mm] als Reihe darstellbar ist.
> Diese Marc Laurinsche Formel habe ich auch nur per
> Österreicher Matheskript gefunden :D
>
> Ich danke euch im Voraus.
>
> Viele Grüße :)
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Hallo Fred und danke für die Antwort.
Ich gehe mal davon aus, dass [mm] |e^{ia}|=1 [/mm] ist, da es sich bei [mm] e^{ia} [/mm] um eine komplexe Zahl handelt (cos(x)+i*sin(x)) und der Betrag darstellbar ist durch [mm] \wurzel{cos^2(x)+sin^2(x)}.
[/mm]
So richtig?
Dann noch eine Frage zu [mm] e^i^2. [/mm] Diese Zahl hat keinen Imaginärteil, da es sich um e^-1 handelt und diese Zahl im Reelen liegt ,oder?
Zu Argument: http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/a.html
Hierher.
Und noch kurz zu [mm] e^{a}.
[/mm]
Dieser Ausdruck alleine, unter Voraussetzung, dass [mm] a\in\IR [/mm] ist.
Eine wirkliche Funktion ist es ja nicht, da keine Funktionsvorschrift diesen Term beschreibt.
Man könnte ja argumentieren: f: a [mm] \mapsto e^{a}
[/mm]
Aber [mm] e^a [/mm] impliziert dies nicht.
Denn ebenso könnte man sagen f: [mm] e^a \mapsto [/mm] e^4a
Ist das eine gültige und üerhaupt logische Schlussfolgerung?
Viele Grüße und danke im Voraus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 13.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Ich gehe mal davon aus, dass [mm]|e^{ia}|=1[/mm] ist, da es sich bei
> [mm]e^{ia}[/mm] um eine komplexe Zahl handelt (cos(x)+i*sin(x)) und
> der Betrag darstellbar ist durch
> [mm]\wurzel{cos^2(x)+sin^2(x)}.[/mm]
>
> So richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann noch eine Frage zu [mm]e^i^2.[/mm] Diese Zahl hat keinen
> Imaginärteil, da es sich um e^-1 handelt und diese Zahl im
> Reelen liegt ,oder?
>
> Zu Argument:
> http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/a.html
>
> Hierher.
>
> Und noch kurz zu [mm]e^{a}.[/mm]
> Dieser Ausdruck alleine, unter Voraussetzung, dass [mm]a\in\IR[/mm]
> ist.
> Eine wirkliche Funktion ist es ja nicht, da keine
> Funktionsvorschrift diesen Term beschreibt.
>
> Man könnte ja argumentieren: f: a [mm]\mapsto e^{a}[/mm]
> Aber [mm]e^a[/mm]
> impliziert dies nicht.
> Denn ebenso könnte man sagen f: [mm]e^a \mapsto[/mm] e^4a
>
> Ist das eine gültige und üerhaupt logische
> Schlussfolgerung?
Ich verstehe kein bisschen, was du da machst.
Lese dir doch mal, wie Fred ja bereits vorgeschlagen hat, den Wikipediaartikel zu komplexen Zahlen durch. Du wirst herausfinden, dass das Wort "Argument" mehrere Bedeutungen hat. Im Zusammenhang mit komplexen Zahlen bezeichnet es den Polarwinkel der Darstellung einer Zahl in der komplexen Ebene und nicht die unabhängige Variable einer Funktion!
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Lippel und danke für das Drüberschauen.
Den Artikel habe ich mir durchgelesen und vieles nachvollziehen können.
Ich habe noch etwas Probleme im Umgang mit Begriffen wie "Funktion" "Abbildung" etc.
Aber auch hier werde ich mich nochmals einlesen.
Viele Grüße und danke :)
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