Komplexe Abbildung - Fläche? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der komplexe Einheitskreis [z [mm] \in \IC; [/mm] |z| = 1] hat unter der Abbildung z [mm] \mapsto [/mm] f(z) = z - [mm] z^{-2} [/mm] das Bild eines Kleeblats mit drei Blättern. Bestimme den Flächeninhalt eines dieser Blätter. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe gedacht, das sei ziemlich einfach:
(1) |z| = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1
(2) [mm] z-z^{-2} [/mm] = x+i*y - [mm] \bruch{1}{x+i*y} [/mm] = ... = x-1 + i*(y+2xy)
Nun weiss ich aber nicht wie weiter??
Wenn ich es auf eine schlaue Form bringen würde (y+2xy durch x-1 ausdrücken, oder etwas ähnliches.. vielleicht aber auch mit einem Winkel alpha, dann könnte ich nur noch die Greensche Formel benutzen, und hätte:
[mm] \mu(B) [/mm] = [mm] \integral_{\partial B}^{}{x dy}
[/mm]
Danke für alle Ideen, Lösungsvorschläge... :)
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Parametrisiere den Einheitskreis durch [mm]w = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}[/mm]. Dann hat das Kleeblatt die Parameterdarstellung
[mm]z = w - w^{-2} = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} - \operatorname{e}^{-2 \operatorname{i}t} = \left( \cos{t} - \cos{(2t)} \right) + \operatorname{i} \left( \sin{t} + \sin{(2t)} \right)[/mm]
oder reell geschrieben:
[mm]x = \cos{t} - \cos{(2t)} \, , \ \ y = \sin{t} + \sin{(2t)}[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Parameterintervall für das erste Blatt ist [mm]\left[ 0 \, , \, \frac{2}{3} \pi \right][/mm]. Das Blatt wird dabei allerdings negativ umlaufen. Bei Anwendung der Greenschen Formel mußt du das durch eine Vorzeichenänderung berücksichtigen. Numerisch habe ich [mm]1{,}0472[/mm] als Blattinhalt bekommen, was ganz nach [mm]\frac{\pi}{3}[/mm] als exaktem Wert aussieht. Viel Spaß beim Lösen des reellen Integrals.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Do 14.09.2006 | | Autor: | mathwizard |
Danke Leopold !.. manchmal kann Mathematik ja so schön sein. :D
Hab gemerkt dass das Integral gar nicht so schwer ist,
wenn man als Flächenformel [mm] 0.5*\integral_{\mu B}^{}{xdy - ydx} [/mm] nimmt,
dann streicht sich das meiste Weg und es bleibt nur noch [mm] 0.5*\integral_{\bruch{2\pi}{3}}^{0}{cos(3t) - 1 dt} [/mm] übrig.. was natürlich [mm] \pi/3 [/mm] ergibt
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