Komplexe Abbildung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Blueman |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass z -> [mm] \bruch{z-i}{z+i} [/mm] eine bijektive Abbildung {z [mm] \in \IC [/mm] ; Im(z) > 0} -> {z [mm] \in \IC; [/mm] |z| < 1} definiert. |
Hi
Leider komme ich mit dieser Aufgabe nicht zurecht. Mein Ansatz wäre:
w = [mm] \bruch{z-i}{z+i} [/mm] und dann solange vereinfachen, bis mit der Vorrausetzung Im(z) >0 folgt: abs(w) < 1.
Leider wird durch das "vereinfachen" der Bruch immer komplizierter, sodass ich nicht weiterkomme.
Das nächste Problem: Damit ist ja keineswegs Bijektivität gezeigt. Da wäre meine Idee, die Umkehrabbildung zu finden und so zu verfahren wie oben. Aber ohne [mm] \bruch{z-i}{z+i} [/mm] zu vereinfachen klappt auch das nicht.
Hoffe ihr könnt mir sagen, wie man sowas am geschicktesten zeigt, wäre sehr nett. Ich befürchte nämlich so etwas in der Klausur..
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mi 03.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei solchen Brüchen ist die Regel IMMER MIT DEM KONJ. KOMPLEXEN DES NENNERS ERWEITERN, dann bleibt im Nenner ne reelle Zahl und alles ist einfacher!
Gruss leduart
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