Komplementärraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie zwei verschiedene Komplementärräume zu dem von
{(1,1,0),(3,-1,0)} erzeugten Unterraum in [mm] \IR^3 [/mm] |
Also mir ist vollständig klar, dass z.B. <(0,0,1)> und <(1,1,1)> zwei verschiedene Komplementärräume von U(1) = < {(1,1,0),(3,-1,0)}> sind . Ich hätte allerdings diesbezüglich eine andere Frage, da ich das ganze allgemein (auch um Schreibarbeit zu sparen) für einen Vektor der Form v = (a,b,c) mit a,b,c aus [mm] \IR [/mm] und c [mm] \ne [/mm] 0.
Um nachzuweisen, dass ein Unterraum U(2) ein Komplementärraum von U(1) darstellt, reicht es doch prinzipiell aus, nachzuweisen, dass:
1. Für n(0),n(1),n(2) aus [mm] \IR [/mm] gilt:
n(0)*(1,1,0) + n(1)*(3,-1,0) + n(2)*(a,b,c) = 0 => n(0),n(1),n(2) = 0
(Da dann ja der Durchschnitt von U(1) und <(a,b,c)> nur der Nullraum ist).
2.Da die drei Vektoren linear unabhängig sind und die Dimension von [mm] \IR^3 [/mm] gleich 3 ist , folgt aus dem Basisergänzungssatz, dass das Erzeugendensystem der drei obigen Vektoren <(1,1,0),(3,-1,0),(a,b,c)>=
[mm] \IR^3 [/mm] .
Daraus folgt dann doch, dass U(1) + <(a,b,c,)> = [mm] \IR^3 [/mm] , oder muss ich noch irgendetwas weiteres zeigen (weil wenn ich das allgemein für einen Vektor v = (a,b,c) c ungleich 0 gezeigt hab, kann ich ja zwei beliebige Vektoren der Form angeben).
Wäre echt nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so geht bzw. ob ich etwas vergessen habe.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Sa 02.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
alles richtig, was du schreibst bis hier:
> (weil wenn
> ich das allgemein für einen Vektor v = (a,b,c) c ungleich 0
> gezeigt hab, kann ich ja zwei beliebige Vektoren der Form
> angeben).
wenn du zwei verschiedene Räume haben willst, darf der zweite erzeugende Vektor nicht im Erzeugnis des ersten erzeugenden Vektors liegen.
Das war bei deinem Beispiel zwar der Fall, aber man sollte es der vollständigkeit noch dazu schreiben bzw. zeigen..
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Folgt das Ganze nicht zwangsläufig aus der linearen Unabhängigkeit der Vektoren ? Also wenn ich gezeigt habe, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind (wobei der dritte Vektor allgemein gehalten ist) , müsste doch zwangsläufig folgen, dass der einzige Vektor der in beiden Erzeugendensystemen ist, der Nullvektor ist , oder irre ich mich da ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 So 03.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich glaube wir reden aneinander vorbei.
Wenn du einen allgemeinen dritten Vektor angibst, der linear unabhängig zu den beiden gegebenen ist, dann ist der Schnitt der entspr. Räume nur der Nullraum, ja.
Jetzt sollst du aber ZWEI solch dritte Vektoren angeben, so dass die beiden daraus entstehenden Komplementärräume verschieden sind - dazu hattest du nur geschrieben, dass du nun zwei beliebige Vektoren v und w wählen könntest und damit alles schon ok wäre, aber wenn man w=2*v oder sowas wählt, hat man zwar zwei solch dritte Vektoren gewählt, aber die Komplementärräume sind nicht verschieden, weil w im selben Erzeugnis liegt wie v.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 So 03.12.2006 | | Autor: | Salvathras |
Ach so, das meintest Du ... natürlich, das ist klar . Danke nochmals , hatte das gestern Abend falsch verstanden . Natürlich muss ich zwei Vektoren wählen, die linear unabhängig sind, sonst erhalte ich ja die gleichen Unterräume . Nochmals danke - schönes Wochenende noch.
|
|
|
|
