Komplementäre Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Ashvini |
| Aufgabe | Berechnen Sie die komplementäre und, falls existent, die inverse Matrix zu
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ \pi & 2 & 3\\ \pi & 1 & 2 }
[/mm]
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Hallo ihr Lieben!
Eigentlich ist das ja gar net so schwer, schließlich hat man eine Formel womit man die komplementäre Matrix berechnet. Aber in einigen Büchern steht, dass wenn man das mit den einzelnen Faktoren berechnet hat, dann noch beachten muss, dass dies gilt:
[mm] \pmat{ + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + }
[/mm]
Dann würde meine komplementäre Matrix so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ \pi & -2+3\pi & -3+3\pi\\ -\pi & 1-2\pi & 2-2\pi }
[/mm]
Stimmt das? Wenn ich dann nämlich mit der komplementären Matrix und der Determinanten (da habe ich [mm] 1-\pi [/mm] raus) das Inverse berechne, bekommt man ja [mm] \bruch{1}{1-\pi}* [/mm] die komplementäre Matrix raus und dabei kann irgendwas nicht stimmen. Aber sehe den Fehler nicht!
Wäre super, wenn mal jemand drüber schauen kann. Es kann auch sein, dass ich das mit der komplementären Matrix noch net so richtig verstanden hab. Schonmal Danke im Voraus!!
Liebe Grüße,
Ashvini
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Anscheinend ist mit der komplementären Matrix die Adjunkte gemeint (ich kenne bisher nur diesen Begriff).
Wenn ja, dann hast du lediglich ein paar Rechenfehler gemacht:
Die Adjunkte/Komplementärmatrix [mm] $\tilde{A}=(\tilde{a}_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ [/mm] zu $A$ wird über [mm] $\tilde{a}_{ij} [/mm] = [mm] (-1)^{i+j} \det [/mm] A(j,i)$ definiert; dabei bezeichne $A(j,i)$ die [mm] $(n-1)\times [/mm] (n-1)$ Matrix, die aus $A$ durch Streichen der $j$-ten Zeile und $i$-ten Spalte hervorgeht.
Möchtest du also das Element [mm] $\tilde{a}_{ij}$ [/mm] bestimmen, streichst du die $j$-te Zeile und die $i$-te Spalte aus $A$, berechnest die Determinante der entstandenen Matrix und multiplizierst diese mit [mm] $(-1)^{i+j}$. [/mm] Letzteres soll die Matrix mit den $+$ und $-$ verdeutlichen, die du gefunden hast.
Ich habe dein Ergebnis einmal korrigiert und die korrigierten Einträge rot markiert. Dabei hast du lediglich Vorzeichenfehler gemacht, nichts anderes.
$ [mm] \pmat{ 1 & \red{-1} & 0 \\ \pi & \red{2-3\pi} & -3+3\pi\\ -\pi & \red{2\pi-1} & 2-2\pi } [/mm] $
> Stimmt das? Wenn ich dann nämlich mit der komplementären Matrix und der Determinanten (da habe ich $ [mm] 1-\pi [/mm] $ raus) das Inverse berechne, bekommt man ja $ [mm] \bruch{1}{1-\pi}\cdot{} [/mm] $ die komplementäre Matrix raus und dabei kann irgendwas nicht stimmen. Aber sehe den Fehler nicht!
Die Determinante [mm] $1-\pi$ [/mm] ist richtig! Folglich ist die dir gegebene Matrix genau für [mm] $\pi\neq [/mm] 1$ invertierbar, ihr Inverses ist [mm] $\frac{1}{1-\pi} \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ \pi & 2-3\pi & -3+3\pi\\ -\pi & 2\pi-1 & 2-2\pi } [/mm] $
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Ashvini |
Vielen, vielen Dank Hanno!!
Lg,
Ashvini
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