Komplement von Unterräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen sie ads Komplement des folgenden lin. Unterraums des [mm] \IR^{4}:
[/mm]
[mm] U={(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) ; 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}+2x_{4}=0} [/mm] |
Hallo zusammen :)
zunächst wollte ich Vektoren finden, die U erzeugen, damit es leichter ist das Kompliment zu bilden, aber dort ist shcon ein Problem aufgetreten... :(
Also:
[mm] 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}+2x_{4}=0
[/mm]
=>
[mm] x_{1}=\bruch{2}{3}x_{2}-\bruch{1}{3}x_{3}-\bruch{2}{3}x_{4}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{3}{2}x_{1}+\bruch{1}{2}x_{3}+x_{4}
[/mm]
[mm] x_{3}=-3x_{1}+2x_{2}-2x_{4}
[/mm]
[mm] x_{4}=-\bruch{3}{2}x_{1}+x_{2}-\bruch{1}{2}x_{3}
[/mm]
Also bekommt man dann:
< [mm] \vektor{0 \\ \bruch{3}{2} \\ -3 \\ -\bruch{3}{2}},\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0 \\ 2 \\ 1},\vektor{-\bruch{1}{3}\\ \bruch{1}{2} \\ 0 \\ -\bruch{1}{2}},\vektor{-\bruch{2}{3} \\ 1\\ -2 \\ 0} [/mm] > = U
Was habe ich hier falsch gemacht? die vektoren erfüllen obige Gleichung nicht. Aber warum nicht? waren meine umformungen nicht legitim? ich wieß es nicht... wäre nett, wenn einer hier den Durchblick hat.. :)
LG
Fabian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 04.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es ergibt nicht viel Sinn die Gleichung jeweils nacheinander nach der nächsten Variable umzuformen, denn die Lösungsmenge an sich ändert sich nicht.
du hast 4 Variablen und nur eine Gleichung, d.h. du darfst 3 Variablen auf beliebig setzen und die vierte davon abhängig machen - wegen den netten Zahlen nehmen wir mal:
> [mm]x_{3}=-3x_{1}+2x_{2}-2x_{4}[/mm]
setze [mm] x_1=r [/mm] , [mm] x_2=s [/mm] und [mm] x_4=t [/mm] jeweils beliebig, dann ist deine allgemeiner Lösungsvektor:
[mm] $\vektor{r\\s\\-3r+2s-2t\\t}=r*\vektor{1\\0\\-3\\0}+s*\vektor{0\\1\\2\\0}+t*\vektor{0\\0\\-2\\1}$
[/mm]
an der letzten Form siehst du also schon, welche drei Vektoren deinen Unterraum aufspannen (die MEnge aller Linearkombinationen steht ja schon da)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Achso, klar... Danke für deine hilfe....
LG
Fabian
|
|
|
|
