Kompl. Folgen:IterationVonF(z) < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | [mm] z_{n+1} [/mm] = [mm] f(z_{n})
[/mm]
Berechne [mm] z_{2},z_{5} [/mm] und [mm] z_{n}.
[/mm]
10.b) f(z) = (1+i)z+2i ; [mm] z_{1} [/mm] = 2-i |
| Aufgabe 2 | | 11.a) f(z) = (3+z)/(1-z) ; [mm] z_{1}=2 [/mm] |
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Hallo zusammen
Ich suche eine allgemeingültige Lösungsstrategie um das n-te Glied zn für jede beliebige Funktion f(z) herauszufinden. Also eine Strategie um von der rekursiven Funktion zu einer expliziten zu gelangen. Hier ein Lösungsvorschlag meines Mathelehrers, den ich aber nicht auf die 2. Aufgabe anwenden konnte.
zu Aufgabe 10.b):
[mm] z_{1}=2-i
[/mm]
[mm] z_{2}=(2-i)(1+i)+2i
[/mm]
[mm] z_{3}=((2-i)(1+i)+2i)(1+i)+2i=(2-i)(1+i)^2+2i(1+i)+2i
[/mm]
[mm] z_{4}=(((2-i)(1+i)+2i)(1+i)+2i)(1+i)+2i=(2-i)(1+i)^3+2i(1+i)^2+2i(1+i)
[/mm]
u.s.w.
Die Wertänderung vom einen zum nächsten Glied (mit einem Glied meine ich immer die Teile des Terms, die [mm] '2i(1+i)^{n}' [/mm] beinhalten) hat den Charakter einer geometrischen Folge, darum allgemein:
[mm] z_{n} [/mm] = [mm] (2-i)(1+i)^{n-1}+2i(1+i)^{n-2}+2i(1+i)^{n-3}
[/mm]
[mm] +2i(1+i)^{n-4}+...+2i(1+i)^{0}
[/mm]
[mm] =(2-i)(1+i)_{n-1}+2i*(Mal)\(1+i)^{i}_{i=0}^{n-2} [/mm] = [mm] summe_{n}
[/mm]
Und jetzt ein Trick (verallgemeinert):
[mm] summe_{n}=a_{1}+a_{1}*(Mal)q+a_{1}*q^{2}+a_{1}*q^{3}+...+a_{1}*q^{n-1} [/mm]
---> ganze Gleichung mit q multiplizieren, dann die 'alte' minus die 'neue' Gleichung subtrahieren:
[mm] summe_{n}-q*summe_{n}=a_{1}*q+a_{1}*q^{2}+a_{1}*q^{3}+
[/mm]
[mm] ...+a_{1}*q^{n-1}+a_{1}*q^{n}
[/mm]
daraus ergibt sich die 'Formel':
[mm] summe_{n}=((1-i)^{n})*a_{1}/(1-q)
[/mm]
[mm] z_{n} [/mm] ist also:
[mm] z_{n} [/mm] = [mm] (4-i)(1+i)^{n-1}-2
[/mm]
In Aufgabe 11.a) kann ich nun zwar eine Regelmässigkeit feststellen (die es durch eine Iteration ja zwangsläufig hat), weiss aber sonst nicht wie ich ohne stundenlanges Ausprobieren(!) weiterkomme. Wenn ich das nämlich richtig sehe kann ich im Verlauf der Iteration der Funktion f(z) = (3+z)/(1-z) keine geometrische Folge erkennen.
Kennt ihr ein reguläres Verfahren wie man rekursive Funktionen in explizite Funktionen 'umwandeln' kann? Gibt es die überhaupt? Wenn nicht, kennt ihr weitere Tricks mit denen man bei bestimmten Anzeichen (von bestimmten Folgen oder bestimmten Mustern in der Zahlenfolge) das n-te Glied berechnen kann?
vielen vielen Dank für eure Antworten
(Ich habe in sieben Tagen eine Prüfung über das Thema, bin aber auch nachher noch interessiert an der Sache)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mi 26.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
rechne mal die ersten 4 Folgenglieder aus, dann wirst Du sehen, das [mm] z_4=z_1 [/mm] gilt.
D.h. ab da wiederholt sich die Folge und es gibt nur 3 verschiedene Folgenwerte.
[mm] z_1=2
[/mm]
[mm] z_2=-5
[/mm]
[mm] z_3=-\bruch{1}{3}
[/mm]
Allgemein also für k=1 [mm] \ldots [/mm] n
[mm] z_{3k-2}=2
[/mm]
[mm] z_{3k-1}=-5
[/mm]
[mm] z_{3k}=\bruch{1}{3}
[/mm]
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