www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Topologie und Geometrie" - Kompaktheit und das Supremum
Kompaktheit und das Supremum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kompaktheit und das Supremum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Sa 19.05.2012
Autor: Gedro

Aufgabe
a)
Seien X und Y kompakte metrische Räume, [mm] f:XxK\to \IR [/mm] stetig. Zeige, dass
g: [mm] X\to\IR, x\mapsto sup\{f(x,y) | y\in Y\} [/mm]
stetig ist

b)
Beweise, dass die Aussage a) auch gilt, wenn X lokal kompakt ist.

Hallo,

also bezüglich der Aufgabe a) habe ich mir bereits folgendes überlegt:
1) Da X und K kompakt sind, gilt nach Tychonoff, dass XxK kompakt ist
2) Da f stetig und XxK kompakt, ist f(XxK) kompakt
3) Da f(XxK) kompakt, gilt nach Heine Borel, dass f(XxK) abgeschlossen und beschränkt ist
4) Da f(XxK) beschränkt ist existiert das Supremum von [mm] sup\{f(x,y) |x\inX, y\in Y\} [/mm] in f(XxK), also kann ich g auch folgendermaßen betrachten:
g(x) = [mm] max\{f(x,y) | y\in Y \} [/mm]

Ich versuche mir das im dreidimensionalen vorzustellen und es ist mir irgendwo klar, dass das gilt. Anschaulich ist g ja nur einen Schnitt durch die dreidimensionale Funktion entlang seiner Maxima für jedes [mm] x\in [/mm] X.
Mir ist nur ein Rätsel, was Kompaktheit damit zu tun hat. Wenn ich z.b. für X und Y offene Mengen aus [mm] \IR [/mm] nehme, also XxK nicht mehr kompakt, und f weiterhin stetig ist, dann wird mir irgendwie nicht klar warum g nicht weiterhin stetig sein kann. In diesem Fall müssten ja die Ränder von f betrachtet werden, aber da f stetig ist, wird f an den Rändern nicht ausarten.
Deshalb fällt mir ein Beweis, der die Kompaktheit ausnutzt, nicht ein, da mir ihre Rolle an dieser Stelle nicht klar wird.

Dass aber die Kompaktheit eine zentrale Rolle spielt, vermute ich wegen der Folgeaufgabe b).
Diese würde ich folgendermaßen zeigen:
Da X lokal kompakt ist exisitiert für jedes [mm] x\in [/mm] X eine kompakte Umgebung [mm] U_{x}. [/mm] Also ist [mm] U_{x} [/mm] x K kompakt und nach a) gilt, dass
[mm] g_{x}:U_{x}\to\IR [/mm] stetig ist. Es existiert eine offene Menge [mm] O_{x}\subset U_{x} [/mm] mit [mm] x\in O_{x}, [/mm] also ist auch [mm] g_{x}':O_{x}\to\IR [/mm] stetig.
Da für jedes [mm] x\inX [/mm] solch eine offene Umgebung existiert , lässt sich eine offene Überdeckung von X finden für die alle [mm] g_{x}' [/mm] stetig sind, also ist auch g stetig.

Meine Frage ist jetzt also, was die Kompaktheit in a) für eine Rolle spielt und wie ich an den Beweis dran gehen kann.

Gruß,
Gedro

        
Bezug
Kompaktheit und das Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Sa 19.05.2012
Autor: SEcki

Siehe diesen Thread für einiges zu dem Thema. Probier damit, dein Problem auf deinen konkreten fall zu übertragen.

Eine Frage noch: hast du oben K und Y zusammengeworfen?

SEcki


Bezug
                
Bezug
Kompaktheit und das Supremum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 So 20.05.2012
Autor: Gedro

Vielen dank für den Link! Ich habe die entsprechende Frage gefunden.

Mir ist auch gerade unter der Dusche eingefallen, dass die Funktion auf jedenfall an den Rändern ausarten kann, man muss sich ja nur das triviale Beispiel [mm] \bruch{1}{x} [/mm] anschauen... oh man, oh man... :D
Dann ist auch klar was die Kompaktheit hier für eine Rolle spielt und ich habe im Endeffekt ja schon alles gegeben für den Beweis.
Danke nochmal!

Achja, Y und K habe ich tatsächlich durcheinander geworfen. :/ Es gilt also Y = K.

Gruß,
Gedro


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]