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| Aufgabe | | Zeige, dass die Menge [mm]M:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|x^2 + 2y^2 = 1 und 4x=3z\}[/mm] kompakt ist. |
Hallo,
ich finde in diese Aufgabe irgendwie keinen rechten Einstieg. Mir ist der Begriff der Kompaktheit natürlich klar, in diesem konkreten Fall, finde ich
aber schlichtweg keinen Ansatz, wie man einen Beweis aufbauen könnte.
Wenn da jemand einen Tip hätte, würde ich mich sehr freuen!
Herzlichen Dank an alle -
Dennis
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> Zeige, dass die Menge [mm]M:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\ |\ x^2 + 2y^2 = 1\ \wedge\ 4x=3z\}[/mm]
> kompakt ist.
> Hallo,
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> ich finde in diese Aufgabe irgendwie keinen rechten
> Einstieg. Mir ist der Begriff der Kompaktheit natürlich
> klar, in diesem konkreten Fall, finde ich
> aber schlichtweg keinen Ansatz, wie man einen Beweis
> aufbauen könnte.
Hallo Dennis,
anschaulich ist das Ganze eigentlich sofort
klar: M ist die Schnittmenge der elliptischen
Zylinderfläche Z: [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2y^2 [/mm] = 1 mit der
schräg zu deren Achse stehenden Ebene
E: 4x=3z . Das Schnittgebilde ist eine Ellipse
und somit ein kompaktes Gebilde im [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] .
Für einen Beweis könnte man wohl so vor-
gehen:
1.) Abgeschlossenheit von Z und E
2.) Abgeschlossenheit von [mm] M=Z\cap{E}
[/mm]
3.) Beschränktheit von M
LG Al-Chw.
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