Kompaktheit abg. Einheitskugel < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Di 26.05.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Sei [mm] (X,\parallel.\parallel) [/mm] normierter Raum und [mm] U\subset [/mm] X ein abgeschlossener,echter UVR und sei [mm] \delta [/mm] >0 bel.
Dann existiert ein x [mm] \in [/mm] X mit: [mm] \parallel x\parallel [/mm] =1, [mm] dist(U,x)\ge 1-\delta
[/mm]
b) Sei [mm] (X,\parallel.\parallel) [/mm] normierter Raum. Dann gilt: [mm] B_{1}[0] [/mm] kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] X endlich-dimensional (wobei [mm] B_{1}[0] [/mm] die abgeschlossene Einheitskugel in X darstellen soll)
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Hallo,
ich verstehe nicht wirklich viel bei obiger Aufgabe.
zu a): Die Bedingung [mm] \parallel x\parallel [/mm] =1 sagt doch aus, dass dies alle x sind die auf der Kugel mit Radius 1 um den Ursprung liegen oder?
Dann zum weiteren Verständnis: [mm] \delta [/mm] ist größer 0, d.h. für [mm] \delta [/mm] =1 wird der Abstand 0,d.h. x liegt auf dem Rand von U oder?
Aber was passiert für [mm] \delta [/mm] >1? Dann wird der Abstand ja negativ.
Ok, ich soll hier zeigen, dass es für jedes [mm] \delta [/mm] also ein solches x gibt.
Aber wie genau gehe ich denn hier vor?
Was weiß ich denn über U genau?Ich mein ich kann doch gar nix über U sagen,außer dass es abg. und echter UVR ist.Was heißt echt hier in diesem Zusammenhang eig? Dass U voll in X liegt?
Hätte mir jemand einen Ansatz,was ich überhaupt zeigen soll?Und wie?
zu b) Aus [mm] B_{1}[0] [/mm] kompakt folgt ja dass diese Menge beschränkt ist und abg.
Aber wie bitte komme ich jetzt da drauf, dass dann X endlich-dimensional ist?
Auch hier weiß ich nicht wie ich das zeigen könnte...
Vielen Dank für eure Tipps...
Grüße
Lati
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Zur a)
Richtig erkannt, dass [mm] \delta\ge1 [/mm] nicht interessant ist, da die Behauptung trivial ist, dass ein Abstand nicht negativ wird und auch der Fall, dass er 0 wird, hier uninteressant ist.
Versuchen wir erstmal, uns ein Bild zu machen. Denken wir an den [mm] \IR^3 [/mm] und nehmen [mm] \IR^2 [/mm] als Unterraum. Dann haben die beiden Pole der Einheitskugel Abstand 1 von der Äquatorialebene und erfüllen damit die Bedingung für jedes [mm] \delta>0. [/mm] Soviel erstmal zur Anschauung (richtig problematisch wird vermutlich erst der unendlichdimensionale Fall).
Falls du dich fragst, warum die Einschränkung auf [mm] 1-\delta: [/mm] Der Raum ist ja nicht als vollständig vorausgesetzt worden. Wenn also die beiden Pole in unserem Beispiel oben nicht zum Raum gehören würden, dann müssten wir uns Punkte suchen, die nahe genug daran liegen.
Noch zur b): Vielleicht wäre es einfacher, die Umkehrung zu zeigen und dafür einen Widerspruchsbeweis heranzuziehen.
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Ich hätte eine Beweisidee für a), allerdings wird's nicht ohne einige Funktionalanalysis gehen:
Zuerst muss man X vervollständigen (dass das geht, ist der erste Satz, den man braucht). Dann kann man den Abstand zu U als Funktional auffassen und nach dem Fortsetzungssatz von Hahn-Banach auf den vervollständigten Raum fortsetzen. Jetzt definiert man das kanonische Skalarprodukt und erhält so einen Hilbertraum. Dann gibt es ein orthogonales Komplement zu unserem ursprünglichen Unterraum (okay, die Abgeschlossenheit nach der Vervollständigung müsste man noch prüfen). In dem orthogonalen Komplement müssten sich dann Punkte finden, die Abstand 1 haben, weil sie durch Orthogonalprojektion auf den Nullpunkt fallen und wir nur Punkte der Einheitskugel betrachten. Dann sind das zumindest Grenzwerte von Cauchy-Folgen des ursprünglichen Raums und es muss dort Punkte geben, die die geforderte Bedingung erfüllen.
Leider ziemlich kompliziert, wenn jemand eine einfachere Idee hat, würde ich die gerne hören.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:15 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte eine Beweisidee für a), allerdings wird's nicht
> ohne einige Funktionalanalysis gehen:
>
> Zuerst muss man X vervollständigen
Muß man nicht
> (dass das geht, ist der
> erste Satz, den man braucht). Dann kann man den Abstand zu
> U als Funktional auffassen und nach dem Fortsetzungssatz
> von Hahn-Banach auf den vervollständigten Raum fortsetzen.
> Jetzt definiert man das kanonische Skalarprodukt und erhält
> so einen Hilbertraum.
Hier scheitert Dein "Beweis"
kanonisches Skalarprodukt, was soll das sein ???
FRED
> Dann gibt es ein orthogonales
> Komplement zu unserem ursprünglichen Unterraum (okay, die
> Abgeschlossenheit nach der Vervollständigung müsste man
> noch prüfen). In dem orthogonalen Komplement müssten sich
> dann Punkte finden, die Abstand 1 haben, weil sie durch
> Orthogonalprojektion auf den Nullpunkt fallen und wir nur
> Punkte der Einheitskugel betrachten. Dann sind das
> zumindest Grenzwerte von Cauchy-Folgen des ursprünglichen
> Raums und es muss dort Punkte geben, die die geforderte
> Bedingung erfüllen.
>
> Leider ziemlich kompliziert, wenn jemand eine einfachere
> Idee hat, würde ich die gerne hören.
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War ja nur eine Idee, Funktionalanalysis ist nicht mein Spezialgebiet. Hatte übersehen, dass man dann die Parallelogrammgleichung hätte voraussetzen müssen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Als Aufgabensteller war hier mal wieder ein Vollidiot am Werk. Diese Aufgabe ist in meinen Augen als Übungsaufgabe viel zu schwer.
2. Ich könnte jetzt ein Lösung schreiben, und mancher würde denken, der Fred ist aber ein fixes Kerlchen, das mach ich aber nicht, denn ich schmücke mich nicht mit fremden Federn, weil:
3. Teil a) der Aufgabe ist das "Rieszsche Lemma" und Teil b) eine wichtige Folgerung daraus. Beides findet man in jedem Buch zur "Funktionalanalysis" (z.B. H.Heuser, § 11)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Fred,
vielen Dank für die Tipps. Habs gefunden...
Lg Lati
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Bemerkung: ist X ein normierter Raum, so gilt:
dim X < [mm] \infty \gdw [/mm] die abgeschlossene Einheitskugel in X ist kompakt.
In einem unendlichdimensionalen normierten Raum gilt also nicht:
" kompakt = beschränkt und abgeschlossen"
FRED
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