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| Aufgabe | | Eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ist beschränkt und abgeschlossen. Nenne ein Beispiel! |
Soweit ist das klar, zumindest habe ich nur ein Beispiel dafür, dass die Umkehrung des Satzes i.A. nicht gilt. Nämlich:
(X,d) seine eine bel. unendliche Menge versehen mit der diskreten Metrik:
d(x,y) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \not =y \\ 0, & \mbox{für } x=y \end{cases}
[/mm]
Dann ist X beschränkt, als Raum abgeschlossen, aber nicht kompakt.
Ok, aber ich möchte ja gerne ein Beispiel für die Aussage aus der Aufgabenstellung. Weiß jemand ein schönes mit Begründung???
Wäre prima...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich finde die Aufgabe etwas komisch. Sinnvoller ist wirklich ein Gegenbeispiel anzugeben. Nett ist zu diesem Zwecke auch der abgeschlossene Einheitsball in einem unendlichdimensionalen(!) Hilbertraum (z.Bsp. [mm] l^2(\IN) [/mm] ) zu nehmen. Für die Aufgabe kann man einfach die leere Menge nehmen oder etwas "komplizierter" eine einpunktige Menge. Volker.
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