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| Aufgabe | Seien (X,d1) , (Y,d2) metrische Räume und sei f:X-->Y stetig.
a) Sei [mm] (Kn)n\ge1 [/mm] eine Folge kompakter Mengen Kn [mm] \subset [/mm] X so, dass [mm] Kn+1\subset [/mm] Kn für alle [mm] n\ge1.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] f(\bigcap_{n=1}^{\infty} [/mm] Kn) = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}f(Kn).
[/mm]
b) Es werde zusätzlich angenommen, dass f surjektiv ist und dass
d2(f(x), f(y) [mm] )\ge [/mm] d(x,y) für alle x,y [mm] \in [/mm] X. Zeigen Sie: Ist X vollständig, so ist auch Y vollständig. |
Hallo,
bei meiner Klausurvorbereitung habe ich folgende Aufgabe gefunden. Ich weiß nicht, wie man so etwas beweisen könnte. Vielleicht könnt ihr mir einen Tip geben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 So 28.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Bei Aufgabe a) zeige dass die rechte Seite in der linken enthalten ist und umgkehrt. Du musst nur die Definition der Bildmenge und des unendlichen Schnitts von Mengen anwenden.
Bei Aufgabe b) nimm eine CF [mm](y_n)\subset Y[/mm]. Da f surjektiv, ist [mm] $(y_n)=f(x_n)$ [/mm] für eine Folge [mm](x_n)\subset X[/mm]. Zeige nun, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] eine CF in (X,d) ist. Da X vollständig ist, konvergiert [mm](x_n)\to\xi\in X[/mm] und wegen der Stetigkeit von f folgt [mm] $$\lim y_n=\lim f(x_n)=f\left(\lim x_n\right)=f(\xi)\in [/mm] Y$$ also ist Y vollständig.
Wenn ich nicht irgendwo vollkommen daneben liege brauchst du die Voraussetzungen aus Aufgabe a) überhaupt nicht, was mich etwas stutzig macht - also prüf es nochmal besonders sorgfältig nach.
Gruß, Robert
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Die b) habe ich mittlerweile ohne Probleme hinbekommen... Ich hatte keine lineare Algebra und daher fehlen mir teilweise echt die Mengengrundlagen...kannst du mir vielleicht zu der a) noch ein wenig helfen? Danke schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die b) habe ich mittlerweile ohne Probleme hinbekommen...
> Ich hatte keine lineare Algebra und daher fehlen mir
> teilweise echt die Mengengrundlagen...kannst du mir
> vielleicht zu der a) noch ein wenig helfen? Danke schon
> mal.
Was hat das mit linearer Algebra zu tun?
Die eine Inklusion ist sehr einfach, naemlich [mm] $\subseteq$. [/mm] Die folgt wirklich direkt aus der Definition. Schreib doch mal hier hin wie weit du da kommst.
Fuer die andere Inklusion brauchst du die Kompaktheit. Sei $y [mm] \in \bigcap_{n\in\IN} f(K_n)$. [/mm] Dann gibt es zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $x_n \in K_n$ [/mm] mit [mm] $f(x_n) [/mm] = y$. Da [mm] $K_{n+1} \subseteq K_n$ [/mm] liegen alle [mm] $x_i$ [/mm] in [mm] $K_0$, [/mm] womit du eine Folge in der kompakten Menge [mm] $K_0$ [/mm] hast. Damit kannst du etwas machen.
(Fuer die Aufgabe reicht es uebrigens, dass [mm] $K_0$ [/mm] kompakt ist und die restlichen [mm] $K_i$ [/mm] abgeschlossen sind.)
LG Felix
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dann hat diese folge xn eine konvergente Teilfolge oder?
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richtig! es gibt eine teilfolge mit grenzwert [mm] $x\in K_0$. [/mm] Du musst nun noch zeigen, dass dieser grenzwert auch in allen anderen [mm] K_i [/mm] (und somit im schnitt) liegt und dass tatsaechlich $f(x)=y$ gilt.
gruss
matthias
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Naja, ich weiß ja, dass die Kns immer größer werden und damit liegt wenn der Grenzwert in Ko liegt, der Grenzwert doch automatisch auch in allen anderen Kns. Oder? Also so würde ich das mal erklären. und f(x) = y gilt dann wegen der stetigkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 27.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Naja, ich weiß ja, dass die Kns immer größer werden
Nein ! Es gilt:
$ [mm] K_{n+1} \subseteq K_n [/mm] $
FRED
> und
> damit liegt wenn der Grenzwert in Ko liegt, der Grenzwert
> doch automatisch auch in allen anderen Kns. Oder? Also so
> würde ich das mal erklären. und f(x) = y gilt dann wegen
> der stetigkeit?
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so wars auch gemeint, das hab ich erst im Nachhinein gemerkt, dass ich mich verschrieben hab....^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 30.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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