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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:13 Do 21.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum und [mm] A\subset [/mm] X [mm] Teilmenge.\textbf{Behauptung: }Folgende [/mm] Aussagen sind äquivalent:
(i) A ist überdeckungskompakt.
(ii) A ist folgenkompakt.
(iii) [mm] (A,d_{A}) [/mm] ist volständig und präkompakt [mm] (\forall \varepsilon>0 [/mm] besitzt A eine endliche Überdeckung mit [mm] \varepsilon-Kugeln) [/mm] |
Hallo,
ich zeige folgendes: [mm] (i)\Rightarrow (ii)\Rightarrow (iii)\Rightarrow [/mm] (i):
Zu [mm] (i)\Rightarrow [/mm] (ii):
Diese Richtung habe ich bereits. Sie entspricht der Formulierung von Bolzano-Weierstraß für metr. Räume.
Zu [mm] (ii)\Rightarrow [/mm] (iii):
Ich muss nun zwei Sachen zeigen: Zunächst, dass jede Cauchy-Folge konvergiert und dann, dass A präkompakt ist.
Zu den Cauchy-Folgen mal eine Frage: Wenn ich von einer bel. Cauchy-Folge eine Teilfolge betrachte, ist das dann wieder eine Cauchy-Folge? Ich würde zwar denke, dass das nicht gilt, aber wenn es gelten würde, hätte ich die Vollständigkeit quasi gezeigt, da ja jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Wie ich sonst vorgehen sollte, weiß ich nicht. Das mit dem präkompakt kann ich leider auch nicht zeigen, aber da werde ich wohl mit der Metrik argumentieren müssen oder?
Zu [mm] (iii)\Rightarrow [/mm] (i):
Ich weiß, dass [mm] A\subset\underset{i\in I}{\bigcup}B(x_{i},\varepsilon) [/mm] und dass jede Kugel offen ist, also besitzt A eine offene Überdeckung. Dann müsste ich nur noch zeigen, dass [mm] \exists [/mm] endliche Teilüberdeckung. Muss man da die Vollständigkeit noch für benutzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:34 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
da es zu spät ist, nur eine kleine Anmerkung und keine wirkliche Antwort:
> Zu den Cauchy-Folgen mal eine Frage: Wenn ich von einer
> bel. Cauchy-Folge eine Teilfolge betrachte, ist das dann
> wieder eine Cauchy-Folge? Ich würde zwar denke, dass das
> nicht gilt,
da denkst du falsch.
Nimm an es gäbe eine TF, die nicht Cauchy wäre. Dann gibt es zu jedem [mm] n_0 [/mm] spätere Folgenglieder m und n, so dass [mm] d(x_m,x_n) [/mm] > [mm] \varepsilon
[/mm]
Da die Folgenglieder Elemente der TF sind, so insbesondere der Folge, also gilt für die das dann auch, also ist sie nicht Cauchy, Widerspruch.
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Sa 23.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich denke du musst X als vollständig voraussetzen. Betrachte z.B. [mm] $X=\IQ\subset\IR$ [/mm] mit der Teilraumtopologie: [mm] $A:=[0,1]\cap\IQ\subset [/mm] X$ ist überdeckungskompakt, aber weder folgenkompakt noch vollständig (wohl aber abgeschlosssen).
War alles falsch 
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 23.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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