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Hallo MatheRaum
Beweisen Sie:
Der normierte Raum $ [mm] C^0([0,1], \IR) [/mm] $ der Funktionen von $ [0,1] [mm] \to \IR [/mm] $ mit der Norm aus Bemerkung ist unendlichdimensional und die Einheitskugel ist nicht kompakt.
Hinweis: Eine Teilmenge eines normierten Raumes ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in A eine in A konvergente Teilfolge besitzt.
Bemerkung:
(1) $ [mm] C^n(M,Y) [/mm] $ ein K-Vektorraum.
(2)$ C(M,Y) [mm] \supseteq C^1(M,Y) \supseteq C^2(M,Y) \supseteq [/mm] ... $
(3) Falls M perfekt und kompakt ist, ist durch
$ [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_ {C^n(M,Y)} [/mm] := [mm] \underbrace{max}_{0 \le k \le n} \parallel f^{(k)} \parallel_ [/mm] {C(M,Y)} = [mm] \underbrace{max}_{0 \le k \le n} \underbrace{max}_{x \in M} [/mm] |f ^{(k)} (x)| $
eine Norm auf $ [mm] C^m(M,Y) [/mm] $ definiert.
Für alle Hilfe bin ich sehr dankbar
Sauerstoff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Do 27.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Beweisen Sie:
> Der normierte Raum [mm]C^0([0,1], \IR)[/mm] der Funktionen von
> [mm][0,1] \to \IR[/mm] mit der Norm aus Bemerkung ist
> unendlichdimensional und die Einheitskugel ist nicht
> kompakt.
Die Norm ist also genau die Supremumsnorm - unendlich dimensional dürfte wohl sehr klar sein (man schaue sich nur mal die Polynome an ...). Einheistkugel nicht kompakt: reicht doch eine Folge zu konstruieren, deren Supremum immer 1 ist - für die aber keine Teilfolge konvergieren kann; mir fällt da spontan ein Dreick ein, was sich zusammenzieht.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Do 27.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Hallo SEcki
Danke für deine Hilfe. Da ich ganz fremd auf diesem Thema bin, habe ich ohne Erklärung diese Frage erstellt. Wenigstens verstehe ich , was du meinst, aber leider weiss ich nicht genau , wie ich damit umgehen muss. Wäre es möglich, mir das genau zu erklären?
Danke für deine Bemühungen im Voraus
Sauerstoff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Fr 28.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Danke für deine Hilfe. Da ich ganz fremd auf diesem Thema
> bin, habe ich ohne Erklärung diese Frage erstellt.
> Wenigstens verstehe ich , was du meinst, aber leider weiss
> ich nicht genau , wie ich damit umgehen muss. Wäre es
> möglich, mir das genau zu erklären?
ich weiß ja nicht, was du wissen willst ... Wo kommt den die Aufgabe her? Bestimmt hilft hier auch ein Ana II Buch (jedenfalls im KÖnigsberger, ana II, 1. Kapitel kann man Ideen dafür finden.). Was meinst du mit umgehen?
Verstehst du, was Elemente der Einheistkugel sind? Formal - und was sie hier im Speziellen bedeuten? Wie kann man dann eine Folge monstruieren, in der keine einzige Teilfolge konvergiert? Ist dir klar, was Konvegrenz bzgl. dieser Norm bedeutet?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Hallo SEcki
Ich meinte, ich weiss genau nicht, was ich bei diesen Fragen machen muss. Einheitskugel und Teilfolge verstehe ich. Aber ich kann alles nicht genau argumentieren. Wie wäre genaue Lösung. Deshalb brauche ich eine genau Lösung. Und ich wäre froh, wenn du mir eine genaue Lösung geben könntest. Das sind meine Aufgaben, verstehst du?
Danke für deine Bemühungen im Voraus
Sauerstoff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Fr 28.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich meinte, ich weiss genau nicht, was ich bei diesen
> Fragen machen muss.
Sie lösen, oder? Und Tips dazu habe ich ja gegeben ...
> Einheitskugel und Teilfolge verstehe
> ich. Aber ich kann alles nicht genau argumentieren. Wie
> wäre genaue Lösung.
wie wäre es, wenn du einfach mal hier versuchst, deine Lösung hinein zu posten - und dann schauen wir mal weiter?
> Deshalb brauche ich eine genau Lösung.
> Und ich wäre froh, wenn du mir eine genaue Lösung geben
> könntest. Das sind meine Aufgaben, verstehst du?
Nein, verstehe ich nicht. Wir können das gerne zusammen präziser machen ... aber ich möchte nicht einfach eine komplett Lösung hineinstellen, da lern nur ich was von ...
SEcki
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